Nombre de Skewes

En mathématiques, plus précisément en théorie des nombres, le nombre de Skewes fait référence à plusieurs nombres extrêmement grands utilisés par le mathématicien sud-africain Stanley Skewes. Ces nombres sont des majorants du plus petit nombre naturel x pour lequel où π est la fonction de compte des nombres premiers et li le logarithme intégral. John Edensor Littlewood, professeur de Skewes, avait démontré en 1914 qu'il existe de tels nombres (et donc, un plus petit parmi eux) et trouvé que la différence π(x) – li(x) change de signe une infinité de fois. Qu'un tel nombre existe n'était pas tout à fait clair à l'époque, car tous les résultats numériques disponibles semblaient suggérer que π(x) est toujours inférieur à li(x). La démonstration de Littlewood n'exhibe néanmoins pas un tel nombre x : elle n'est pas effective. En effet, elle s'appuie sur une alternative : soit l'hypothèse de Riemann est fausse, soit l'hypothèse de Riemann est vraie et la démonstration est alors plus difficile. (Elle reposait donc sur le principe du tiers exclu.) Skewes démontra en 1933 qu'en supposant vraie l'hypothèse de Riemann, il existe un tel nombre x, inférieur à Ce majorant, quelquefois appelé premier nombre de Skewes aujourd'hui, est lui-même majoré par En 1955, sans l'hypothèse de Riemann, il est parvenu à démontrer qu'il existe un tel x inférieur à Ce nombre est quelquefois appelé deuxième nombre de Skewes. Ces majorants (énormes) ont depuis été réduits considérablement : sans l'hypothèse de Riemann, Herman te Riele donna en 1987 le majorant et une meilleure estimation, 1,39822×10, fut découverte en 2000 par Carter Bays et Richard H. Hudson. La contribution majeure de Skewes fut de rendre effective la démonstration d'existence de Littlewood, en exhibant une borne supérieure concrète pour le premier changement de signe de la fonction π(x) – li(x). L'approche de Skewes, appelée « débobinage » (unwinding) en théorie de la démonstration, consiste à étudier directement la structure d'une démonstration pour en extraire une borne.

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