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Concept
Équation quartique
Résumé
En mathématiques, une équation quartique est une équation polynomiale de degré 4.
Les équations quartiques ont été résolues dès que furent connues les méthodes de résolution des équations du troisième degré. Ont été développées successivement la méthode de Ferrari et la méthode de Descartes.
La méthode de Lagrange, décrite ci-dessous, est issue des propriétés des polynômes symétriques construits à partir des n racines d'un polynôme de degré n.
La méthode de résolution de l'équation quartique est établie depuis déjà deux siècles par Ludovico Ferrari (1522-1565). Sa méthode permet de se ramener à une équation du degré trois, appelée — ou réduite — de l'équation du quatrième degré ; elle a été publiée pour la première fois en 1545 par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna (Cardan y dit explicitement que cette méthode lui a été indiquée par Ferrari, sur sa demande). La méthode développée ici utilise les propriétés sur les variations des expressions faisant intervenir les racines des polynômes. Cette analyse correspond au travail de Joseph-Louis Lagrange qui cherche à comprendre les principes généraux qui régissent les résolutions des équations de degré deux, trois et quatre. L'idée de considérer les racines des polynômes comme des quantités formelles intervenant dans des polynômes, symétriques ou non, est une initiative fructueuse qui, appliquée à des polynômes de degré supérieur ou égal à 5, va déboucher sur le théorème d'Évariste Galois qui démontre que, d’une manière générale, une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux.
Par une technique commune aux équations polynomiales (de degré quelconque), l'équation
se ramène, après division par a et changement de variable à une équation de la forme
avec
On peut ensuite résoudre l'équation (2) par la méthode de Ferrari, celle de Descartes, ou celle ci-dessous « de Lagrange ». Toutes trois fournissent, sous des apparences différentes, la même formule pour les quatre solutions.
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