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Concept
Équation quintique
Résumé
En mathématiques, une équation quintique est une équation polynomiale dans laquelle le plus grand exposant de l'inconnue est 5. Elle est de forme générale :
où a, b, c, d, e et f appartiennent à un corps commutatif (habituellement les rationnels, les réels ou les complexes), et a est non nul.
La fonctionest une fonction quintique.
Parce qu'elles ont un degré impair, les fonctions quintiques normales apparaissent similaires aux fonctions cubiques normales lorsqu'elles sont tracées, excepté sur le nombre de maxima locaux et minima locaux. La dérivée d'une fonction quintique est une fonction quartique.
Trouver les racines d'un polynôme donné à coefficients rationnels a été un problème essentiel en mathématiques.
Résoudre les équations linéaires, quadratiques, cubiques et quartiques en factorisant par radicaux est relativement direct lorsque les racines sont rationnelles et réelles ; il existe aussi des formules qui fournissent les solutions cherchées. Par contre, il n'existe pas de formule pour les équations quintiques générales sur les rationnels en termes de radicaux ; ceci fut d'abord démontré par le théorème d'Abel-Ruffini découvert par Paolo Ruffini et Niels Henrik Abel. Publié en 1824, ce fut une des premières applications de la théorie des groupes en algèbre. Ce résultat est aussi valable pour les équations de degrés plus élevés. Cela est assez surprenant ; même s'il y a des racines, il n'y a pas d'expression algébrique finie de +, –, ×, / et qui puisse les produire à partir des coefficients pour toutes les quintiques.
Certaines équations de degré 5 peuvent être résolues par factorisation en radicaux, par exemple :
qui peut être écrit sous la forme
D'autres quintiques, comme
ne peuvent pas être factorisées facilement et résolues de cette manière.
Évariste Galois développa des techniques pour déterminer si une équation donnée peut être résolue par radicaux, qui ont fondé la théorie de Galois.
Source officielle
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