Équation polynomiale

Résumé

En mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique, est une équation de la forme : :P =0 où P est un polynôme. Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue : : 7 x^{42} - x^7 + 3 = 0 Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici x) : :a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0=0, où l'entier naturel n et les a_i, appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau. Les équations polynomiales sont le sujet central de la théorie des équations. L'objectif de cette théorie est de trouver les racines d'un polynôme, ce qui revient à résoudre une équation polynomiale. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue x (appartenant à un cer

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_polynomiale

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Sur la méthode de Buser-Silhol pour l'uniformisation des surfaces de Riemann hyperelliptiques

Grégoire Aubry

The Uniformization Theorem due to Koebe and Poincaré implies that every compact Riemann surface of genus greater or equal to 2 can be endowed with a metric of constant curvature – 1. On the other hand, a compact Riemann surface is a complex algebraic curve and is therefore described by a polynomial equation with complex coefficients. The uniformization problem is then to link explicitly these two descriptions. In [BS05b], Peter Buser and Robert Silhol develop a new uniformization method for compact Riemann surfaces of genus two. Given such a surface S, the method describes a polynomial equation of an algebraic curve conformally equivalent to S. However, in this method appear a complex number τ BS and a function f BS which is holomorphic on the unit disk, both being characterized by some functional equations. This means that τ BS, f BS are given implicitly. P. Buser and R. Silhol then approximate them numerically by a complex number τ and a polynomial p using the approximation method developped in [BS05a]. In cases where the equation of the algebraic curve is known, they notice that these approximations are very good. In this thesis we prove a convergence theorem for the approximation method of P. Buser and R. Silhol, and we propose an adaptation of their method that allows to solve some of the numerical problems to which it is prone. Moreover, we generalize this uniformization method to hyperelliptic Riemann surfaces of genus greater than 2, and we give some examples of numerical uniformization in genus 3.

EPFL2010

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Algebraic Nahm transform for parabolic Higgs bundles on P^1

Szilárd Szabó

We formulate the Nahm transform in the context of parabolic Higgs bundles on P^1 and extend its scope in completely algebraic terms. This transform requires parabolic Higgs bundles to satisfy an admissibility condition and allows Higgs fields to have poles of arbitrary order and arbitrary behavior. Our methods are constructive in nature and examples are provided. The extended Nahm transform is established as an algebraic duality between moduli spaces of parabolic Higgs bundles. The guiding principle behind the construction is to investigate the behavior of spectral data near the poles of Higgs fields.

2014

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Electrically gauged N=4 supergravities in D=4 with N=2 vacua

Paul Smyth

We study N = 2 vacua in spontaneously broken N = 4 electrically gauged supergravities in four space-time dimensions. We argue that the classification of all such solutions amounts to solving a system of purely algebraic equations. We then explicitly construct a special class of consistent N = 2 solutions and study their properties. In particular we find that the spectrum assembles in N = 2 massless or BPS supermultiplets. We show that (modulo U(1) factors) arbitrary unbroken gauge groups can be realized provided that the number of N = 4 vector multiplets is large enough. Below the scale of partial supersymmetry breaking we calculate the relevant terms of the low-energy effective action and argue that the special Kahler manifold for vector multiplets is completely determined, up to its dimension, and lies in the unique series of special Kahler product manifolds.

Springer2013

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