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Concept
Équation polynomiale
Résumé
En mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique, est une équation de la forme :
où P est un polynôme.
Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue :
Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici x) :
où l'entier naturel n et les , appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.
Les équations polynomiales sont le sujet central de la théorie des équations. L'objectif de cette théorie est de trouver les racines d'un polynôme, ce qui revient à résoudre une équation polynomiale. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue x (appartenant à un certain ensemble, en général le même corps ou anneau que les coefficients), appelées solutions de l’équation, pour lesquelles l’équation polynomiale est vraie.
On appelle degré de l’équation la plus grande puissance de l’inconnue affectée d’un coefficient non nul. Par exemple, l’équation d’inconnue est une équation polynomiale réelle du second degré dont l'unique solution (racine double) est –1.
Toute équation polynomiale de degré n > 0 à coefficients complexes a n racines complexes (dont certaines sont parfois égales). On peut les exprimer algébriquement si n ≤ 4, mais pas au-delà, sauf dans des cas particuliers.
Soit l’équation d'inconnue
dont les coefficients appartiennent à un corps K. On dit également que les solutions de (E) dans K sont les racines sur K du polynôme
On montre qu'un polynôme de degré n sur un corps possède au plus n racines. L'équation (E) admet donc au plus n solutions.
Si K' est un surcorps de K, on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans K' ; et les solutions de (E) dans K sont aussi solutions dans K' (la réciproque étant en général fausse). Il est toujours possible de trouver un surcorps de K, appelé corps de rupture du polynôme P, dans lequel (E) admet au moins une solution.
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