En mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique, est une équation de la forme :
où P est un polynôme.
Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue :
Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici x) :
où l'entier naturel n et les , appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.
Les équations polynomiales sont le sujet central de la théorie des équations. L'objectif de cette théorie est de trouver les racines d'un polynôme, ce qui revient à résoudre une équation polynomiale. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue x (appartenant à un certain ensemble, en général le même corps ou anneau que les coefficients), appelées solutions de l’équation, pour lesquelles l’équation polynomiale est vraie.
On appelle degré de l’équation la plus grande puissance de l’inconnue affectée d’un coefficient non nul. Par exemple, l’équation d’inconnue est une équation polynomiale réelle du second degré dont l'unique solution (racine double) est –1.
Toute équation polynomiale de degré n > 0 à coefficients complexes a n racines complexes (dont certaines sont parfois égales). On peut les exprimer algébriquement si n ≤ 4, mais pas au-delà, sauf dans des cas particuliers.
Soit l’équation d'inconnue
dont les coefficients appartiennent à un corps K. On dit également que les solutions de (E) dans K sont les racines sur K du polynôme
On montre qu'un polynôme de degré n sur un corps possède au plus n racines. L'équation (E) admet donc au plus n solutions.
Si K' est un surcorps de K, on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans K' ; et les solutions de (E) dans K sont aussi solutions dans K' (la réciproque étant en général fausse). Il est toujours possible de trouver un surcorps de K, appelé corps de rupture du polynôme P, dans lequel (E) admet au moins une solution.
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Learn the basics of plasma, one of the fundamental states of matter, and the different types of models used to describe it, including fluid and kinetic.
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En mathématiques, une équation quintique est une équation polynomiale dans laquelle le plus grand exposant de l'inconnue est 5. Elle est de forme générale : où a, b, c, d, e et f appartiennent à un corps commutatif (habituellement les rationnels, les réels ou les complexes), et a est non nul. La fonctionest une fonction quintique. Parce qu'elles ont un degré impair, les fonctions quintiques normales apparaissent similaires aux fonctions cubiques normales lorsqu'elles sont tracées, excepté sur le nombre de maxima locaux et minima locaux.
En mathématiques, une équation quartique est une équation polynomiale de degré 4. Les équations quartiques ont été résolues dès que furent connues les méthodes de résolution des équations du troisième degré. Ont été développées successivement la méthode de Ferrari et la méthode de Descartes. La méthode de Lagrange, décrite ci-dessous, est issue des propriétés des polynômes symétriques construits à partir des n racines d'un polynôme de degré n. La méthode de résolution de l'équation quartique est établie depuis déjà deux siècles par Ludovico Ferrari (1522-1565).
L'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
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The Uniformization Theorem due to Koebe and Poincaré implies that every compact Riemann surface of genus greater or equal to 2 can be endowed with a metric of constant curvature – 1. On the other hand