Paradoxe des deux enveloppes
En théorie de la décision, le paradoxe des deux enveloppes est un raisonnement probabiliste aboutissant à un résultat absurde. Inspiré d'un problème posé en 1930 par le mathématicien belge M. Kraïtchik, ce paradoxe a été formulé par Martin Gardner en 1982. Il en existe plusieurs réfutations, certaines ne faisant d'ailleurs pas appel au calcul des probabilités. Il existe plusieurs variantes du paradoxe. Le plus souvent, il est proposé la situation de décision suivante : deux enveloppes contiennent chacune un chèque. On sait que l'un des chèques porte un montant double de l'autre, mais on n'a aucune information sur la façon dont les montants ont été déterminés. Un animateur propose à un candidat de choisir une des enveloppes, le montant du chèque contenu dans l'enveloppe choisie lui sera acquis. Le paradoxe proprement dit réside dans l'argument qui va suivre : avant que le candidat n'ouvre l'enveloppe choisie, l'animateur lui conseille de changer son choix avec le raisonnement suivant. Soit la valeur du chèque dans l'enveloppe choisie. Il y a deux cas possibles : une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus important (donc de valeur ) ; une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne un chèque deux fois plus petit (donc de valeur ). L'espérance du montant obtenu en changeant d'enveloppe serait alors qui est supérieur à . Le candidat aurait donc intérêt à changer d'enveloppe, ce qui est absurde puisque les deux enveloppes jouent le même rôle, et que le candidat, n'ayant pas encore ouvert la première, n'a aucun moyen de les distinguer. L'espérance mathématique permet de définir sur un grand nombre d'épreuves le gain moyen d'une loi de probabilité. Afin de déterminer le gain moyen obtenu par le choix d’une enveloppe, on associe à la première enveloppe (resp. la seconde) la variable aléatoire (resp. ). La loi de probabilité de la variable aléatoire est l’ensemble des 2 solutions possibles proposées par le jeu (noté sous la forme {valeur ; probabilité d’apparition}) : où et sont les deux montants possibles proposés par le jeu.
