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Concept
Sous-espace de Krylov
Résumé
En algèbre linéaire, le sous-espace de Krylov d'ordre r associé à une matrice de taille et un vecteur b de dimension n est le sous-espace vectoriel linéaire engendré par les vecteurs images de b par les r premières puissances de A (à partir de ), c'est-à-dire
Le concept porte le nom du mathématicien appliqué et ingénieur naval russe Alexei Krylov, qui a publié un article à ce sujet en 1931.
Les vecteurs sont linéairement indépendants tant que , et . Ainsi, désigne la dimension maximale d'un sous-espace de Krylov.
La dimension maximale satisfait et .
Plus exactement, , où est le polynôme minimal de . De plus, il existe une tel que .
est un sous-module cyclique généré par de la torsion -module , où est l'espace linéaire sur .
peut être décomposé comme la somme directe des sous-espaces de Krylov.
Les sous-espaces de Krylov sont utilisés dans de nombreux algorithmes numériques en algèbre linéaire pour trouver des solutions approchées à des problèmes de vecteurs propres avec des matrices de grande dimension.
Les méthodes itératives modernes, telles que l'algorithme d'Arnoldi, peuvent être utilisées pour trouver une (ou plusieurs) valeurs propres de grandes matrices creuses ou pour résoudre de grands systèmes d'équations linéaires. Ils essaient d'éviter les opérations matrice-matrice, mais utilisent plutôt les produits matrice-vecteur et travaillent avec les vecteurs résultants. Étant donné le vecteur , on calcule , puis on multiplie ce vecteur par pour trouver etc. Tous les algorithmes qui fonctionnent de cette manière sont appelés méthodes de sous-espace de Krylov ; ce sont actuellement les méthodes les plus efficaces disponibles en algèbre linéaire numérique.
Étant donné que les vecteurs deviennent généralement rapidement presque linéairement dépendants en raison des propriétés de la méthode de la puissance itérée, les méthodes reposant sur le sous-espace de Krylov impliquent fréquemment un schéma d'orthonormalisation, comme l'algorithme de Lanczos pour les matrices hermitiennes ou l'algorithme d'Arnoldi pour les matrices plus générales.
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