vignette|250x250px|Trois courbes intégrales pour le correspondant à l'équation différentielle dy / dx = x2 − X − 2.
En mathématiques, une courbe intégrale est une courbe paramétrique qui représente une solution spécifique à une équation différentielle ordinaire ou un système d'équations. Si l'équation différentielle est représentée sous la forme d'un champ vectoriel ou d'un , les courbes intégrales correspondantes sont tangentes au champ en chaque point.
Il existe d'autres terminologies pour désigner les courbes intégrales, selon la nature et l'interprétation de l'équation différentielle ou du champ vectoriel. En physique, les courbes intégrales d'un champ électrique ou d'un champ magnétique sont appelées lignes de champ, et les courbes intégrales pour le champ de vitesse d'un fluide sont appelées lignes de courant. Dans les systèmes dynamiques, les courbes intégrales d'une équation différentielle qui régit un tel système sont appelées trajectoires ou orbites .
Supposons que F est un champ vectoriel : c'est -à-dire une fonction vectorielle avec des coordonnées cartésiennes ( F 1, F 2 ,. . ., F n ); et x ( t ) une courbe paramétrique définie en coordonnées cartésiennes ( x 1 ( t ), x 2 ( t )..., x n ( t )). Alors x ( t ) est une courbe intégrale de F si c'est une solution du système autonome suivant d'équations différentielles ordinaires:
Un tel système peut être écrit sous forme vectorielle
Cette équation implique que le vecteur tangent à la courbe en tout point x ( t ) est précisément le vecteur F ( x ( t )), et donc la courbe x ( t ) est tangente en chaque point au champ vectoriel F .
Si un champ vectoriel est donné par une application lipschitzienne, alors le théorème de Picard – Lindelöf implique qu'il existe un flux unique pour un petit temps.
Soit M une variété de Banach de classe C r avec r ≥ 2. De plus T M désigne le fibré tangent de M avec sa projection naturelle π M : T M → M donnée par
Un champ de vecteurs sur M est une section transversale du fibré tangent T M, c'est-à-dire une application faisant correspondre à chaque point de la variété M un vecteur tangent à M en ce point.
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Explore les intégrales de courbes des champs vectoriels, les calculs d'énergie, les fonctions potentielles et les vecteurs tangentiels, en mettant l'accent sur les intégrales de lignes et les domaines.
Smooth manifolds constitute a certain class of topological spaces which locally look like some Euclidean space R^n and on which one can do calculus. We introduce the key concepts of this subject, such
Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept fondamental utilisé en géométrie différentielle. La notion de flot permet notamment de modéliser le déplacement dans le temps des éléments d'un fluide. Pour ce faire, on crée une application α qui, à chaque point x de l'espace concerné par l'écoulement, associe un autre point α(x,t), correspondant à la position qu'aurait une particule du fluide à l'instant t, si elle avait été située en x à l'instant 0. thumb|Flot associé à l'équation différentielle d'un pendule.
En mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.
We construct divergence-free Sobolev vector fields in C([0,1];W-1,W-r(T-d;Rd)) with r < d and d\geq 2 which simultaneously admit any finite number of distinct positive solutions to the continuity equation. These vector fields are then shown to have at leas ...
Philadelphia2023
Two Lie algebroids are presented that are linked to the construction of the linearizing output of an affine in the input nonlinear system.\ The algorithmic construction of the linearizing output proceeds inductively, and each stage has two structures, name ...
2019
The Gröbner walk is an algorithm for conversion between Gröbner bases for different term orders. It is based on the polyhedral geometry of the Gröbner fan and involves tracking a line between cones representing the initial and target term order. An importa ...