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Concept
Courbe intégrale
Résumé
vignette|250x250px|Trois courbes intégrales pour le correspondant à l'équation différentielle dy / dx = x2 − X − 2.
En mathématiques, une courbe intégrale est une courbe paramétrique qui représente une solution spécifique à une équation différentielle ordinaire ou un système d'équations. Si l'équation différentielle est représentée sous la forme d'un champ vectoriel ou d'un , les courbes intégrales correspondantes sont tangentes au champ en chaque point.
Il existe d'autres terminologies pour désigner les courbes intégrales, selon la nature et l'interprétation de l'équation différentielle ou du champ vectoriel. En physique, les courbes intégrales d'un champ électrique ou d'un champ magnétique sont appelées lignes de champ, et les courbes intégrales pour le champ de vitesse d'un fluide sont appelées lignes de courant. Dans les systèmes dynamiques, les courbes intégrales d'une équation différentielle qui régit un tel système sont appelées trajectoires ou orbites .
Supposons que F est un champ vectoriel : c'est -à-dire une fonction vectorielle avec des coordonnées cartésiennes ( F 1, F 2 ,. . ., F n ); et x ( t ) une courbe paramétrique définie en coordonnées cartésiennes ( x 1 ( t ), x 2 ( t )..., x n ( t )). Alors x ( t ) est une courbe intégrale de F si c'est une solution du système autonome suivant d'équations différentielles ordinaires:
Un tel système peut être écrit sous forme vectorielle
Cette équation implique que le vecteur tangent à la courbe en tout point x ( t ) est précisément le vecteur F ( x ( t )), et donc la courbe x ( t ) est tangente en chaque point au champ vectoriel F .
Si un champ vectoriel est donné par une application lipschitzienne, alors le théorème de Picard – Lindelöf implique qu'il existe un flux unique pour un petit temps.
Soit M une variété de Banach de classe C r avec r ≥ 2. De plus T M désigne le fibré tangent de M avec sa projection naturelle π M : T M → M donnée par
Un champ de vecteurs sur M est une section transversale du fibré tangent T M, c'est-à-dire une application faisant correspondre à chaque point de la variété M un vecteur tangent à M en ce point.
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