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Concept
Transformées en sinus et en cosinus
Résumé
En mathématiques, les transformées de Fourier dites en sinus et en cosinus sont des formes de la transformée de Fourier qui n'utilisent pas de nombres complexes. Ce sont les formes utilisées à l'origine par Joseph Fourier et sont encore préférées dans certaines applications, comme le traitement du signal, les statistiques ou la résolution des équations aux dérivées partielles utilisant les méthodes spectrales.
La transformée en sinus , parfois désignée par ou , est définie parSi t signifie le temps, alors ν est la fréquence, mais plus généralement, il peut s'agir de n'importe quelle paire de variables duales.
Cette transformée est nécessairement une fonction impaire de la fréquence, c'est-à-dire pour tout ν :
La transformée en cosinus de , parfois désignée par ou , est définie parC'est nécessairement une fonction paire de la fréquence, c'est-à-dire pour tout ν :Certains auteurs ne définissent la transformée en cosinus que pour des fonctions paires de t, auquel cas sa transformée en sinus est nulle. Comme le cosinus est également pair, une formule plus simple peut être utilisée,De même, si est une fonction impaire, alors la transformée en cosinus est nulle et la transformée en sinus peut être simplifiée enD'autres auteurs définissent également la transformée en cosinus comme et sinus commeou, la transformée en cosinus comme et la transformée sinus commeà l'aide de comme variable de transformation.
La fonction d'origine peut être retrouvée à partir de sa transformée sous les hypothèses habituelles, que et ses deux transformées soient absolument intégrables. Pour plus de détails sur les différentes hypothèses, voir le théorème d'inversion de Fourier.
La formule d'inversion est elle présente l'avantage que toutes les quantités sont réelles. En utilisant la formule d'addition pour le cosinus, cela peut être réécrit commeSi la fonction d'origine est une fonction paire, alors la transformée en sinus est nulle ; si est une fonction impaire, alors la transformée en cosinus est nulle. Dans les deux cas, la formule d'inversion se simplifie.
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