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Concept
Parité d'une fonction
Résumé
En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes :
fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = f (x) ;
fonction impaire : pour tout x du domaine de définition, f (−x) = −f (x).
En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, telles les fonctions constantes, la fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d'exposant pair, les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique...
Les fonctions impaires sont celles dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine, telles les fonctions identité, cube et plus généralement les fonctions puissances d'exposant impair, les fonctions inverse, sinus, tangente, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique et leurs réciproques.
Les seules fonctions à être à la fois paires et impaires sont les fonctions nulles sur un domaine symétrique.
Une fonction quelconque n'est en général ni paire ni impaire, même si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine. Toute fonction définie sur un tel domaine s'écrit en revanche de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
La mise en évidence de la parité d'une fonction d'une variable réelle (qu'elle soit paire ou impaire) permet notamment de limiter son étude aux réels positifs.
La parité des fonctions sert, par exemple, à n'étudier les fonctions que sur la moitié de leur intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire, définie en 0, est nulle en ce point (en effet, puisque est impaire, pour tout , et donc ; ainsi .
On peut aussi simplifier le calcul intégral dans le cas de fonction paire ou impaire, puisque pour paire est égale à , ce que l'on visualise bien avec la représentation graphique de l'aire sous la courbe, et respectivement pour impaire est égale à .
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