Noyau de Dirichlet
thumb|upright=2|Tracé des premiers noyaux de Dirichlet. En mathématiques, et plus précisément en analyse, le n-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par : C'est donc une fonction 2π-périodique de classe . Elle vérifie de plus : si x n'est pas un multiple entier de 2π, alors ; si x est un multiple entier de 2π, alors . Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes. Lorsque , c'est-à-dire lorsque x appartient à 2πZ, le noyau de Dirichlet est la somme de 2n + 1 termes chacun égaux à 1, et vaut donc 2n + 1. Lorsque , l'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une suite géométrique de raison et en utilisant la formule d'Euler. C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction , 2π-périodique ; il est pair ; sa valeur moyenne est 1 ; le comportement asymptotique de sa norme de la convergence en moyenne est : Le n-ième terme de la série de Fourier d'une fonction 2π-périodique et intégrable s'écrit : L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau. C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier. Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par . En spécialisant l'étude en un point x particulier, l'application a pour norme d'opérateur lui-même, qui tend vers l'infini avec n. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point x. Le noyau de Dirichlet est 2π fois la somme d'ordre n du développement en série de Fourier du peigne de Dirac δ, qui est la distribution de période 2π donnée par où δ est la « fonction » delta de Dirac, qui en réalité n'est pas une fonction mais une distribution.
