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Concept
Catégorie des ensembles
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
La catégorie des ensembles illustre de nombreuses constructions usuelles (produit cartésien, produit fibré, réunion disjointe) en théorie des catégories, et de nombreuses catégories, dites « concrètes », en sont des restrictions : catégorie des groupes, des anneaux Elle constitue également l'archétype d'un topos – ou aussi, un topos peut se voir comme représentant une certaine théorie des ensembles.
Paradoxe de Russell
Il n'y a pas en mathématiques d'« ensemble de tous les ensembles ». La théorie des ensembles habituellement considérée est la théorie de Zermelo-Fraenkel (éventuellement complétée de l'axiome du choix), et l'axiome de fondation fait de la collection de tous les ensembles une classe propre. Dans ZF ou ZFC, la notion de classe propre n'est pas formalisée, et cela pose problème pour donner un sens rigoureux à la catégorie des ensembles.
Il existe de nombreuses manières de résoudre cette situation. L'une d'entre elles est de travailler dans une théorie des ensembles qui formalise les classes, telles que la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel qui présente l'avantage de pouvoir être décrite avec un nombre fini d'axiomes, tout en étant essentiellement équivalente à ZFC. Une autre approche consiste à éviter les classes en travaillant dans un univers de Grothendieck fixé.
D'autres questions se posent dans la catégorie des ensembles, qui en font un objet d'étude intéressant en logique mathématique.
La catégorie des ensembles est la catégorie ayant :
pour objets la collection de tous les ensembles ;
si A et B sont deux ensembles, Hom(A, B) est la collection des applications de A dans B, qui est un ensemble.
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Proximité ontologique