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Concept
Morphisme
Résumé
En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.
Soient et deux -structures, d'ensembles respectifs et . Un morphisme de dans est une application de dans telle que :
pour tout symbole de fonction -aire et pour tout on a (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
pour tout symbole de relation -aire et pour tout , si alors
désignant l'interprétation du symbole dans la structure .
Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application , entre deux monoïdes et , qui vérifie :
Morphisme de groupes
Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application , entre deux groupes et , qui vérifie :
On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence et .
Morphisme d'anneaux
Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :
dans lesquelles , et (respectivement , et ) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux et .
Dans la sur un corps K fixé, un morphisme est une application , entre deux K-espaces vectoriels et , qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :
est un morphisme de groupes de dans ;
ce qui est équivalent à :
Dans le cas de deux -algèbres unifères et , un morphisme vérifie :
est une application linéaire de dans ;
est un morphisme d’anneaux,
ce qui est équivalent à :
Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).
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