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Concept
Objet initial et objet final
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle.
Définition
Donnons-nous une catégorie \mathcal{C}. Un objet I de \mathcal{C} est dit initial si pour tout objet E de \mathcal{C}, il existe une et une seule flèche de I vers E. De même, un objet F est dit final (ou terminal) si pour tout objet E, il existe une et une seule flèche de E vers F. En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité. Un objet nul est un objet à la fois initial et final.
Par exemple, la catégorie des ensembles pointés, c'est-à-dire des couples (E,x) où E est un ensemble et x un élément de E, admet pour objets nuls les ensembles réduits à un élément.
L'intérêt de cette définition est la propriété
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