Objet initial et objet final

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. Donnons-nous une catégorie . Un objet de est dit initial si pour tout objet de , il existe une et une seule flèche de vers . De même, un objet est dit final (ou terminal) si pour tout objet , il existe une et une seule flèche de vers . En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité. Un objet nul est un objet à la fois initial et final. Par exemple, la catégorie des ensembles pointés, c'est-à-dire des couples (E,x) où E est un ensemble et x un élément de E, admet pour objets nuls les ensembles réduits à un élément. L'intérêt de cette définition est la propriété suivante : Deux objets initiaux (respectivement finals) dans une catégorie sont isomorphes, et l'isomorphisme entre les deux est unique (on dit qu'ils sont canoniquement isomorphes). Autrement dit, si et sont tous deux initiaux dans , l'unique flèche de vers est un isomorphisme. En effet, comme est initial, il existe de même une unique flèche de vers , et le composé ne peut être que la flèche identité de , toujours parce que est initial. Pour la même raison, ne peut être que l'identité de . Par suite, demander qu'un objet soit initial le définit à isomorphisme canonique près. En d'autre termes, de telles définitions permettent de se concentrer sur l'essentiel (le comportement de l'objet défini) sans se préoccuper des détails de sa construction. Bien entendu, une telle définition ne prouve pas l'existence de l'objet, qui doit éventuellement être prouvée par une construction. Elle ne fait que débarrasser la définition de l'objet de tout ce qui est contingent. En contrepartie, elle oblige à intégrer dans la définition les outils nécessaires et suffisants pour la manipulation de l'objet. Quand un objet mathématique est défini de cette façon, on dit qu'il est défini par un problème universel.