Espace nucléaire

En mathématiques, et plus précisément en analyse, un espace nucléaire est un espace vectoriel topologique possédant certaines propriétés analogues à celles des espaces de dimension finie. Leur topologie peut être définie par une famille de semi-normes dont la taille des boules unités décroit rapidement. Les espaces vectoriels dont les éléments sont « lisses » en un certain sens sont souvent des espaces nucléaires ; un exemple typique est celui des fonctions régulières sur une variété compacte. Bien que leur définition soit notoirement délicate à manipuler, cette classe d'espaces est importante en analyse fonctionnelle. Une grande partie de la théorie des espaces nucléaires fut développée par Alexandre Grothendieck dans le cadre de sa thèse et présentée au séminaire Nicolas Bourbaki en 1952, puis publiée en 1955. Les trois définitions qui suivent sont toutes équivalentes. Certains auteurs utilisent une définition plus restrictive, en demandant que l'espace soit également un espace de Fréchet, c'est-à-dire qu'il soit complet et que sa topologie soit définie par une famille dénombrable de semi-normes. On rappelle d'abord qu'un espace vectoriel topologique localement convexe V a une topologie définie par une famille de semi-normes. Pour toute semi-norme, la boule unité fermée est un voisinage de 0 fermé, convexe et symétrique ; réciproquement, tout voisinage de 0 ayant ces propriétés est la boule unité d'une certaine semi-norme (pour des espaces vectoriels complexes, la condition « être symétrique » doit être remplacée par « être équilibré »). Si p est une semi-norme sur V, on note Vp l'espace de Banach obtenu en quotientant et complétant V pour cette semi-norme p. Il existe une application canonique (non nécessairement injective) de V vers Vp. Définition 1 : Un espace nucléaire est un espace vectoriel topologique localement convexe tel que pour toute semi-norme continue p, il existe une semi-norme continue q plus grande telle que l'application canonique de Vq vers Vp soit .