vignette|Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide.
En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.
Une fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à sont dites déclinantes.
Pour deux multi-indices , on définit les semi-normes par
où est la dérivée d'ordre de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre .
L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes définie par :
L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.
La convergence d'une suite de se définit donc de la manière suivante.
Une suite de fonctions converge dans vers une fonction si et si
Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées .
L'espace contient l'espace des fonctions C à support compact. Cet espace, aussi noté , est dense dans au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
pour tout multi-indice α et tout réel .
L'espace est un sous-espace vectoriel des différents espaces L pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L.
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In functional analysis and related areas of mathematics, a complete topological vector space is a topological vector space (TVS) with the property that whenever points get progressively closer to each other, then there exists some point towards which they all get closer. The notion of "points that get progressively closer" is made rigorous by or , which are generalizations of , while "point towards which they all get closer" means that this Cauchy net or filter converges to The notion of completeness for TVSs uses the theory of uniform spaces as a framework to generalize the notion of completeness for metric spaces.
En mathématiques, une fonction C à support compact (également appelée fonction test) est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact. Ces fonctions sont au cœur de la théorie des distributions, puisque ces dernières sont construites comme éléments du dual topologique de l'espace des fonctions tests. Les fonctions C à support compact sont également utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C.
En mathématiques, la fonction sinus cardinal est une fonction définie à partir de la fonction trigonométrique sinus apparaissant fréquemment dans des problèmes de physique ondulatoire. La fonction sinus cardinal est définie par : où sin désigne la fonction sinus. Il existe une autre définition couramment utilisée : Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite sinc (resp. sinc) la première (et respectivement la seconde) version de la fonction. La seconde est parfois nommée sinus cardinal normalisé.
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The Lizorkin space is well suited to the study of operators like fractional Laplacians and the Radon transform. In this paper, we show that the space is unfortunately not complemented in the Schwartz space. In return, we show that it is dense in C0(Double- ...
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