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Concept
Espace de Schwartz
Résumé
vignette|Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide.
En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.
Une fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à sont dites déclinantes.
Pour deux multi-indices , on définit les semi-normes par
où est la dérivée d'ordre de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre .
L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes définie par :
L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.
La convergence d'une suite de se définit donc de la manière suivante.
Une suite de fonctions converge dans vers une fonction si et si
Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées .
L'espace contient l'espace des fonctions C à support compact. Cet espace, aussi noté , est dense dans au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
pour tout multi-indice α et tout réel .
L'espace est un sous-espace vectoriel des différents espaces L pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L.
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