Uniform polytopeIn geometry, a uniform polytope of dimension three or higher is a vertex-transitive polytope bounded by uniform facets. The uniform polytopes in two dimensions are the regular polygons (the definition is different in 2 dimensions to exclude vertex-transitive even-sided polygons that alternate two different lengths of edges). This is a generalization of the older category of semiregular polytopes, but also includes the regular polytopes. Further, star regular faces and vertex figures (star polygons) are allowed, which greatly expand the possible solutions.
Semiregular polytopeIn geometry, by Thorold Gosset's definition a semiregular polytope is usually taken to be a polytope that is vertex-transitive and has all its facets being regular polytopes. E.L. Elte compiled a longer list in 1912 as The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces which included a wider definition. In three-dimensional space and below, the terms semiregular polytope and uniform polytope have identical meanings, because all uniform polygons must be regular.
Espace à quatre dimensionsframe|L'équivalent en quatre dimensions du cube est le tesseract. On le voit ici en rotation, projeté dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir). En mathématiques, et plus spécialement en géométrie, l'espace à quatre dimensions (souvent abrégé en 4D ; on parlera par exemple de rotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme espace à trois dimensions : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de trois nombres, appelés dimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite quatre.
PentachoreEn géométrie euclidienne de dimension quatre, le pentachore, ou 5-cellules, aussi appelé un pentatope ou 4-simplexe, est le polychore régulier convexe le plus simple. C'est la généralisation d'un triangle du plan ou d'un tétraèdre de l'espace. Le pentachore est constitué de 5 cellules, toutes des tétraèdres. C'est un polytope auto-dual. Sa figure de sommet est un tétraèdre. Son intersection maximale avec l'espace tridimensionnel est le prisme triangulaire. Le symbole de Schläfli du pentachore est {3,3,3}.
4 21 polytopeDISPLAYTITLE:4 21 polytope In 8-dimensional geometry, the 421 is a semiregular uniform 8-polytope, constructed within the symmetry of the E8 group. It was discovered by Thorold Gosset, published in his 1900 paper. He called it an 8-ic semi-regular figure. Its Coxeter symbol is 421, describing its bifurcating Coxeter-Dynkin diagram, with a single ring on the end of the 4-node sequences, . The rectified 421 is constructed by points at the mid-edges of the 421. The birectified 421 is constructed by points at the triangle face centers of the 421.
Groupe de CoxeterUn groupe de Coxeter est un groupe engendré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d'isométries de polyèdres réguliers, sont des groupes de Coxeter. Les groupes de Weyl sont d'autres exemples de groupes de Coxeter. Ces groupes sont nommés d'après le mathématicien H.S.M. Coxeter. Un groupe de Coxeter est un groupe W ayant une présentation du type: où est à valeurs dans , est symétrique () et vérifie , si .
Gosset–Elte figuresIn geometry, the Gosset–Elte figures, named by Coxeter after Thorold Gosset and E. L. Elte, are a group of uniform polytopes which are not regular, generated by a Wythoff construction with mirrors all related by order-2 and order-3 dihedral angles. They can be seen as one-end-ringed Coxeter–Dynkin diagrams. The Coxeter symbol for these figures has the form ki,j, where each letter represents a length of order-3 branches on a Coxeter–Dynkin diagram with a single ring on the end node of a k length sequence of branches.
4-polytopeEn géométrie, un 4-polytope (fréquemment appelé également un polychore) est un polytope de l'espace à quatre dimensions. C'est une figure connexe, composée d'un nombre fini de polytopes de dimension inférieure : des sommets, des arêtes, des faces (qui sont des polygones), et des cellules (qui sont des polyèdres), chaque face appartenant à exactement deux cellules. Le 4-polytope le plus connu est le tesseract (ou hypercube), analogue en 4D du cube. La définition des 4-polytopes varie beaucoup selon les auteurs.
