Groupe de Coxeter

Résumé

Un groupe de Coxeter est un groupe engendré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d'isométries de polyèdres réguliers, sont des groupes de Coxeter. Les groupes de Weyl sont d'autres exemples de groupes de Coxeter. Ces groupes sont nommés d'après le mathématicien H.S.M. Coxeter. Définition formelle Un groupe de Coxeter est un groupe W ayant une présentation du type: :\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}\right\rangle où m_{ij} est à valeurs dans \N\cup{\infty}, est symétrique (m_{ij}=m_{ji}) et vérifie m_{ii}=1, m_{ij}\geq2 si i\neq j. La condition (r_ir_j)^\infty signifie par convention qu'aucune relation n'est imposée entre r_i et r_j. Remarquons que m_{ij}=2 ne s

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Coxeter

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Study the basics of representation theory of groups and associative algebras.

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables.

The topics addressed in this course are the structure theory of reductive algebraic groups, their associated Lie algebras, the related finite groups of Lie type, and the representation theory of all of these objects.

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Le foncteur de bi-ensembles des modules de p-permutation

Mélanie Baumann

Let k be an algebraically closed field of characteristic p, where p is a prime number or 0. Let G be a finite group and ppk(G) be the Grothendieck group of p-permutation kG-modules. If we tensor it with C, then Cppk becomes a C-linear biset functor. Recall that the simple biset functor SH,V are parametrized by pairs (H,V), where H is a finite group and V a simple COut(H)-module. If we only consider p'-groups, then Cppk = CRk is the usual representation functor and we know the simple functors which are its composition factors. If we consider only p-groups, then Cppk = CB is the Burnside functor and we also know the simple functors which are its composition factors. We want to find the composition factors of Cppk in general. In order to achieve this, we first show that the composition factors from the special cases above are also composition factors for Cppk. Then, we consider groups of little order and try to find new composition factors. This leads us to find the following new composition factors : The simple factors SCm,Cξ and SCp×Cp× Cm,Cξ, where (m,ξ) runs over the set of all pairs formed by a positive integer m prime to p and a primitive character ξ : (Z/mZ)* → C*. Their multiplicity as composition factors is 1. The simple factors SCp⋊Cl, C, where l is a number prime to p, the action of Cl on Cp is faithful and C is the trivial COut(Cp ⋊ Cl)-module. Their multiplicity as composition factors is φ(l). The simple functors SG,C, where G is a finite p-hypo-elementary B-group (for which an explicit classification is done) and C the trivial COut(G)-module. We also show that some specific simple functors appear, indexed by the groups C3 ⋊ C4, C5 ⋊ C4 and A4. On the way, we find all the composition factors of the subfunctor of permutation modules.

EPFL2012

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The functor of p-permutation modules for abelian groups

Mélanie Baumann

Let k be a field of characteristic p, where p is a prime number, let pp_k(G) be the Grothendieck group of p-permutation kG-modules, where G is a finite group, and let Cpp_k(G) be pp_k(G) tensored with the field of complex numbers C. In this article, we find all the composition factors of the biset functor Cpp_k restricted to the category of abelian groups.

Elsevier2013

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Counting conjugacy classes of cyclic subgroups for fusion systems

Sejong Park

Thévenaz [6] made an interesting observation that the number of conjugacy classes of cyclic subgroups in a finite group G is equal to the rank of the matrix of the numbers of double cosets in G. We give another proof of this fact and present a fusion system version of it. In particular we use finite groups realizing the fusion system F as in our previous work [3].

Walter de Gruyter2014

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