Concept
Morphisme
Concepts associés (47)
Section (théorie des catégories)
vignette|Ici, g est une section de f, et f est une rétraction de g. Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes , tel que (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).
Restriction (mathématiques)
thumb|La fonction x2 n'admet pas de réciproque sur la droite réelle. Il faut restreindre sur les réels positifs pour pouvoir définir la racine carrée . En mathématiques, la restriction d'une fonction f est une fonction, souvent notée f ou , pour laquelle on ne considère que les valeurs prises par f sur un domaine A inclus dans le domaine de définition de f. Soit f : E → F une fonction sur un ensemble E vers un ensemble F.
Catégorie concrète
En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple où est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures.
Composition de fonctions
La composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée). Soient X, Y et Z trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions et . On définit la composée de f par g, notée , par On applique ici f à l'argument x, puis on applique g au résultat.
Generator (mathematics)
In mathematics and physics, the term generator or generating set may refer to any of a number of related concepts. The underlying concept in each case is that of a smaller set of objects, together with a set of operations that can be applied to it, that result in the creation of a larger collection of objects, called the generated set. The larger set is then said to be generated by the smaller set. It is commonly the case that the generating set has a simpler set of properties than the generated set, thus making it easier to discuss and examine.
Injection canonique
In mathematics, if is a subset of then the inclusion map (also inclusion function, insertion, or canonical injection) is the function that sends each element of to treated as an element of A "hooked arrow" () is sometimes used in place of the function arrow above to denote an inclusion map; thus: (However, some authors use this hooked arrow for any embedding.) This and other analogous injective functions from substructures are sometimes called natural injections.
Application (mathématiques)
thumb|Diagramme représentatif d'une application entre deux ensembles. En mathématiques, une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (appelé ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (l’ensemble d'arrivée ou but). Le terme est concurrencé par celui de fonction, bien que celui-ci désigne parfois plus spécifiquement les applications dont le but est un ensemble de nombres et parfois, au contraire, englobe plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.
Category (mathematics)
In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.
Automorphism group
In mathematics, the automorphism group of an object X is the group consisting of automorphisms of X under composition of morphisms. For example, if X is a finite-dimensional vector space, then the automorphism group of X is the group of invertible linear transformations from X to itself (the general linear group of X). If instead X is a group, then its automorphism group is the group consisting of all group automorphisms of X. Especially in geometric contexts, an automorphism group is also called a symmetry group.
Monomorphisme
Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un morphisme injectif. Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme est un morphisme simplifiable à gauche, c'est-à-dire un morphisme tel que pour tout , ou encore : l'application Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous).