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Concept
Monomorphisme
Résumé
Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un morphisme injectif.
Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme est un morphisme simplifiable à gauche, c'est-à-dire un morphisme tel que pour tout ,
ou encore : l'application
Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous).
Le dual d'un monomorphisme est un épimorphisme (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie C est un épimorphisme dans la catégorie duale Cop).
Les termes consacrés monomorphisme et épimorphisme ont été originellement introduits par Bourbaki, qui utilisait monomorphisme comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont donné de ces deux termes la définition ci-dessus, ce qui a causé quelques malentendus dans les cas où la nouvelle notion ne coïncidait pas avec l'ancienne. Saunders Mac Lane a tenté de remédier à la situation en redonnant à « monomorphisme » sa signification ensembliste antérieure, et en appelant « morphisme monique » la notion catégorique, mais ses choix ne sont pas entrés dans l'usage.
Tout isomorphisme est un monomorphisme.
Tout morphisme d'une catégorie concrète dont l'application sous-jacente est injective est un monomorphisme.
Dans la catégorie des ensembles, la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les injections. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles de par l'existence d'objets libres sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour toute catégorie abélienne concrète, et également pour la catégorie des groupes et celle de anneaux.
En revanche, dans d'autres catégories concrètes, les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs. Par exemple, dans la catégorie Div des groupes abéliens divisibles et des morphismes de groupes entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application quotient f : Q → Q/Z.
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