Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un morphisme injectif. Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme est un morphisme simplifiable à gauche, c'est-à-dire un morphisme tel que pour tout , ou encore : l'application Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous). Le dual d'un monomorphisme est un épimorphisme (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie C est un épimorphisme dans la catégorie duale Cop). Les termes consacrés monomorphisme et épimorphisme ont été originellement introduits par Bourbaki, qui utilisait monomorphisme comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont donné de ces deux termes la définition ci-dessus, ce qui a causé quelques malentendus dans les cas où la nouvelle notion ne coïncidait pas avec l'ancienne. Saunders Mac Lane a tenté de remédier à la situation en redonnant à « monomorphisme » sa signification ensembliste antérieure, et en appelant « morphisme monique » la notion catégorique, mais ses choix ne sont pas entrés dans l'usage. Tout isomorphisme est un monomorphisme. Tout morphisme d'une catégorie concrète dont l'application sous-jacente est injective est un monomorphisme. Dans la catégorie des ensembles, la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les injections. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles de par l'existence d'objets libres sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour toute catégorie abélienne concrète, et également pour la catégorie des groupes et celle de anneaux. En revanche, dans d'autres catégories concrètes, les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs. Par exemple, dans la catégorie Div des groupes abéliens divisibles et des morphismes de groupes entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application quotient f : Q → Q/Z.

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Concepts associés (17)
Morphisme
En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Fonction (mathématiques)
vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
Épimorphisme
En mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens. 1) En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante: g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z. Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
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