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Concept
Asymétrie (statistiques)
Résumé
En théorie des probabilités et statistique, le coefficient d'asymétrie (skewness en anglais) correspond à une mesure de l’asymétrie de la distribution d’une variable aléatoire réelle.
C’est le premier des paramètres de forme, avec le kurtosis (les paramètres basés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom attribué).
En termes généraux, l’asymétrie d’une distribution est positive si la queue de droite (à valeurs hautes) est plus longue ou grosse, et négative si la queue de gauche (à valeurs basses) est plus longue ou grosse.
Étant donné une variable aléatoire réelle X de moyenne μ et d’écart type σ, on définit son coefficient d’asymétrie comme le moment d’ordre trois de la variable centrée réduite :
lorsque cette espérance existe.
On a donc :
avec les moments centrés d’ordre i et κ les cumulants d’ordre i.
Les moments centrés μ et cumulants κ ayant pour dimension celle de la variable X élevée à la puissance i, le coefficient d’asymétrie γ est une grandeur adimensionnelle.
Soient X une variable aléatoire réelle et la somme de n réalisations indépendantes de X (exemple : la loi binomiale de paramètres n et p, somme de n réalisations indépendantes de la loi de Bernoulli de paramètre p).
Grâce à la propriété d’additivité des cumulants, on sait que κ(Y) = n κ(X), donc :
Un coefficient négatif indique une distribution décalée à droite de la médiane, et donc une queue de distribution étalée vers la gauche.
Un coefficient positif indique une distribution décalée à gauche de la médiane, et donc une queue de distribution étalée vers la droite.
Un coefficient nul n'indique pas nécessairement que la distribution est symétrique, mais une distribution symétrique a un coefficient nul.
Un estimateur de l’asymétrie, non biaisé pour la loi normale, est :
où et sont des estimateurs non biaisés respectivement de l’espérance et de la variance.
Karl Pearson a proposé d'autres estimations de l'asymétrie par des calculs plus simples, ne faisant pas appel aux moments mais à d'autres paramètres statistiques :
Premier coefficient d'asymétrie de Pearson (asymétrie de mode)
Le coefficient d'asymétrie de mode de Pearson est donné par :
moyenne − mode/écart type.
Source officielle
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