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Concept
Loi exponentielle
Résumé
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins s + t heures (ou n'importe quelle autre unité de temps) sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.
Plus formellement, soit X une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène, d'espérance mathématique . On suppose que :
Alors, la densité de probabilité de X est définie par :
si t < 0 ;
pour tout t ≥ 0.
et on dit que X suit une loi exponentielle de paramètre (ou d'intensité) . Réciproquement, une variable aléatoire ayant cette loi vérifie la propriété d'être sans mémoire.
Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie d'un atome radioactif ou d'un composant électronique. Elle peut aussi être utilisée pour décrire par exemple le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué.
La densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre λ > 0 prend la forme :
La distribution a pour support l'intervalle .
La fonction de répartition est donnée par :
Le quantile d'ordre d'une variable aléatoire distribuée selon une loi exponentielle de paramètre est donné par
thumb|384px|Densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle ainsi que sa médiane.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
Nous savons, par construction, que l'espérance mathématique de X est .
On calcule la variance en intégrant par parties ; on obtient : .
L'écart type est donc .
La médiane, c'est-à-dire le temps T tel que , est .
Le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante :
Par le théorème de Bayes on a :
En posant la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t, on trouve donc :
Puisque la fonction G est monotone et bornée, cette équation implique que G est une fonction exponentielle.
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