Intégrale de Daniell

En mathématiques, l'intégrale de Daniell est un type d'intégration qui généralise le concept plus élémentaire de l'intégrale de Riemann qui est généralement la première enseignée. Une des principales difficultés de la formulation traditionnelle de l'intégrale de Lebesgue est qu'elle nécessite le développement préalable de la théorie de la mesure avant d'obtenir les principaux résultats de cette intégrale. Cependant, une autre approche est possible, qui a été développée par Percy John Daniell dans un article de 1918 qui ne présente pas cette difficulté, et a des avantages réels par rapport à la formulation traditionnelle, en particulier lorsque l'on veut généraliser l'intégrale aux espaces de dimension supérieure ou bien lorsqu'on veut introduire d'autres généralisations telles que l'intégrale de Riemann–Stieltjes. L'idée de base introduit une axiomatisation de l'intégrale. On commence par choisir un ensemble de fonctions réelles bornées (appelées fonctions élémentaires) définies sur un ensemble , qui satisfait les deux axiomes: est un espace vectoriel pour les opérations usuelles de l'addition et de la multiplication par un scalaire. Si une fonction est dans , alors sa valeur absolue l’est également. En plus, à chaque fonction h dans H est assigné un nombre réel , qui est appelé l'intégrale élémentaire de h, satisfaisant les trois axiomes: Linéarité. Si h et k sont tous deux dans H, et et sont deux nombres réels quelconques, alors . Positivité. Si , alors . Continuité. Si est une suite décroissante au sens large (i.e. ) de fonctions dans qui converge vers 0 pour tout dans , alors . Ainsi, nous définissons une forme linéaire continue positive sur l'espace des fonctions élémentaires. Ces fonctions élémentaires et leurs intégrales élémentaires peuvent être n'importe quel ensemble de fonctions et de définitions des intégrales pour ces fonctions qui satisfont ces axiomes. La famille de toutes les fonctions en escalier satisfait évidemment les deux premiers axiomes.