Concept
400px|Exemple d'ovale complet et ses trois foyers Ovale245(Descartes).svg En géométrie plane, un(e) ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme bFM + aFM = cFF, où a, b et c sont trois réels non nuls et F, F deux points donnés appelés foyers. Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers F et F, il existe un troisième foyer F et de nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers F, F. C'est la raison pour laquelle on parle des trois foyers d'un ovale. L'ensemble des points M tels que |bFM ± aFM| = |cFF| est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est un cas particulier de courbe quartique. Le nom «ovale de Descartes» fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le premier à les étudier dans des problèmes de réfraction. René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu. Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation bFM+ aFM = cFF où 0 < a < c < b sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de F et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F. Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu. Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque c=(a+b)/2, avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinier.
