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Concept
Anticommutativité
Résumé
En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si
Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.
Étant donné un entier naturel n, une opération n-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.
Plus formellement, une application de l'ensemble de tous les n-uplets d'éléments d'un ensemble A dans un groupe G est dite anticommutative si pour toute permutation σ de l'ensemble {1, 2, ... ,n}, on a :
où sgn(σ) désigne la signature de σ.
Cette formule est à interpréter comme suit :
si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe G ;
si deux n-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.
La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée G est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe G, noté ici additivement, (–1) g représente le symétrique (ou opposé) –g d'un élément g.
Le cas n = 2 est particulièrement important. Une opération binaire est anticommutative si
ce qui signifie que x✻x est l'élément symétrique de x✻x dans le groupe G.
Sont anticommutatifs :
la soustraction ;
le produit vectoriel ;
le crochet de Lie.
Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.
Si le groupe G est tel que
c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :
pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément x on a :
plus généralement, pour toute opération n-aire ✻ anticommutative, l'image de tout n-uplet comportant une répétition ( tel que pour au moins deux indices i et j distincts) est égale à l'élément neutre :
Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application n-linéaire antisymétrique (E et F étant des espaces vectoriels sur un même corps K) : si la caractéristique de K est différente de 2 alors le seul vecteur de F égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que f est alternée.
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