En algèbre commutative, la norme d'un idéal est une généralisation de la notion de norme d'un élément dans une extension de corps. Il est particulièrement important en théorie des nombres puisqu'il mesure la taille d'un idéal d'un anneau d'entiers R a priori compliqué en fonction d'un idéal dans un anneau plus simple. Lorsque l'anneau plus simple est Z, la norme d'un idéal non nul I de R est simplement le cardinal de l'anneau quotient fini R/I.
Soit A un anneau de Dedekind, K son corps des fractions et B sa fermeture intégrale dans une extension finie séparable L de K. (Cela implique que B est aussi un anneau de Dedekind.) Soit et les groupes d'idéaux fractionnaires non nuls de A et B, respectivement. Suivant Jean-Pierre Serre, la norme relative est l'unique morphisme de groupes
qui satisfait pour tout idéal premier non nul de B, où est l'idéal premier de A situé en dessous .
De manière équivalente, pour tout on peut définir de comme étant l'idéal fractionnaire de A engendré par l'ensemble des normes d'éléments de B.
Pour , on a , où .
La norme d'un idéal principal est donc compatible avec la norme d'un élément :
Soit une extension galoisienne de corps de nombres avec pour anneaux d'entiers .
Alors ce qui précède s'applique avec , et pour tout on a
qui est un élément de . La notation est parfois abrégée en .
Dans le cas , est à valeurs dans , en identifiant tout idéal fractionnaire non nul de à l'unique rationnel strictement positif qui l'engendre. Selon cette convention, la norme relative de sur coïncide avec la norme absolue définie ci-dessous.
Soit un corps de nombres, l'anneau de ses entiers, et un idéal non nul de .
La norme absolue de est
Par convention, la norme de l'idéal zéro est prise égale à zéro.
La norme absolue s'étend de manière unique en un morphisme de groupes
La norme d'un idéal peut être utilisée pour majorer la norme du plus petit élément non nul qu'il contient :
La borne de Minkowski énonce qu'il existe toujours un non nul tel que
où
est le discriminant de L et
est le nombre de paires de plongements complexes de L dans .
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Algebraic number theory is the study of the properties of solutions of polynomial equations with integral coefficients; Starting with concrete problems, we then introduce more general notions like alg
Galois theory aims at describing the algebraic symmetries of fields. After reviewing the basic material (from the 2nd year course "Ring and Fields") and in particular the Galois correspondence, we wi
droite|vignette|upright=1.6|Un domaine fondamental de l'anneau des entiers du corps K obtenu à partir de en adjoignant une racine de . Ce domaine fondamental se trouve à l'intérieur de . Le discriminant de K est 49 = 7. En conséquence, le volume du domaine fondamental est 7 et K n'est ramifié qu'en 7. En mathématiques, le discriminant d'un corps de nombres est un invariant numérique qui, moralement, mesure la taille de l'anneau des entiers de ce corps de nombres.
En mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres K. C'est la fonction de la variable complexe s définie par la somme infinie : prise sur tous les idéaux I non nuls de l'anneau O des entiers de K, où N(I) désigne la norme de I (relative au corps Q des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient O/I. En particulier, ζ est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe ζ ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.
En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Couvre les incorporations des champs de nombres et des classes idéales avec des preuves et des exemples.
Explore les propriétés et les applications des incorporations logarithmiques dans les champs numériques.
Couvre les relations entre le groupe de classe idéal et les idéaux fractionnaires appropriés.
The goal of this project was to study if the fabrication of glass suspended microchannel resonators was possible. Through trial and error, the process parameters were determined, starting from the ideal dose in the dry etching process. The ideal size was d ...
Nowadays, one area of research in cryptanalysis is solving the Discrete Logarithm Problem (DLP) in finite groups whose group representation is not yet exploited. For such groups, the best one can do is using a generic method to attack the DLP, the fastest ...
Let B be a positive quaternion algebra, and let O subset of B be an Eichler order. There is associated, in a natural way, a variety X = X(O) the connected components of which are indexed by the ideal classes of O and are isomorphic to spheres. This variety ...