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Concept
Quadrilatère orthodiagonal
Résumé
vignette|Exemples de quadrilatères orthodiagonaux non convexes.
En géométrie euclidienne, un quadrilatère orthodiagonal est un quadrilatère dont les diagonales se coupent à angle droit. Autrement dit, il s'agit d'un polygone à quatre côtés dont les segments entre sommets non adjacents sont perpendiculaires.
centré|vignette|400x400px|Exemples de quadrilatères orthodiagonaux convexes.
Un cerf-volant est un quadrilatère orthodiagonal dont l'une des diagonales est axe de symétrie. Les cerfs-volants sont les quadrilatères orthodiagonaux circonscriptibles, c'est-à-dire possédant un cercle inscrit tangent à chacun de leurs quatre côtés.
Un losange est un quadrilatère orthodiagonal ayant ses côtés parallèles deux à deux (c'est-à-dire un parallélogramme orthodiagonal).
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un cerf-volant et un losange.
Les quadrilatères à la fois orthodiagonaux et équidiagonaux sont dits de carré médian ou appelés des pseudo-carrés.
Les pseudo-carrés dans lesquels les diagonales sont au moins aussi longues que tous les côtés du quadrilatère sont d'aire maximale parmi tous les quadrilatères de diamètre donné, résolvant le cas n = 4 du problème du plus grand petit polygone. Le carré est l'un de ces quadrilatères, mais il en existe une infinité d'autres. vignette|240x240px| Un quadrilatère convexe orthodiagonal (en jaune). Les deux carrés rouges, construits sur deux côtés opposés du quadrilatère, ont la même aire totale que les deux carrés bleus sur l'autre paire de côtés opposés.
La somme des carrés des longueurs de deux côtés opposés d'un quadrilatère convexe orthodiagonal, est égale à celle des deux autres côtés. Notant a, b, c et d, les longueurs successives des côtés, on a :
Cette relation est une conséquence directe du théorème de Pythagore, appliqué aux quatre triangles rectangles formés par les sommets du quadrilatère et le point d'intersection des diagonales.
La réciproque est également vraie : tout quadrilatère vérifiant est orthodiagonal. La démonstration se fait par exemple par la loi des cosinus.
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