In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (Since this group is noncompact, these unitary representations are infinite-dimensional.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states.
The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4-momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass-squared and the second with helicity or spin.
The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles.
For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3).
In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of 1/2 called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation.
For the third case The only finite-dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
As an example, let us visualize the irreducible unitary representation with and It corresponds to the space of massive scalar fields.
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La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
En mathématiques, plus précisément en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire . Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le groupe général linéaire de . On note le centre de ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur : un morphisme ; une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : .
Le groupe de Poincaré ou symétrie de Poincaré est l'ensemble des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Il a la propriété d'être un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Sa version complète inclut quatre types de symétrie : les translations (c'est-à-dire les déplacements) dans le temps et l'espace, formant le groupe de Lie abélien des translations sur l'espace-temps ; les rotations dans l'espace, qui forment le groupe de Lie non abélien des rotations tridimensionnelles ; les transformations de Lorentz propres et orthochrones, laissant inchangés le sens du temps et l'orientation de l'espace ; le renversement du temps T et la parité P (renversement des coordonnées d'espace), qui forment un groupe discret (Id ; T ; P ; PT).
The goal of the course is to introduce relativistic quantum field theory as the conceptual and mathematical framework describing fundamental interactions.
The goal of this class is to teach how to look at two-dimensional field theories, how to analyse them, how to put structures on them. In the end, the student should have a good picture into what we un