En mathématiques, plus précisément en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire .
Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le groupe général linéaire de . On note le centre de ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur :
un morphisme ;
une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : .
Une représentation linéaire d'un groupe donne automatiquement une représentation projective en la composant avec le morphisme de projection :
La question qui se présente alors naturellement consiste à déterminer sous quelles conditions il est possible de relever une représentation projective en une représentation linéaire.
En général, il n'existe pas de relèvement d'une représentation projective ρ: G → PGL(V) en une représentation linéaire G → GL(V) et l'obstruction à ce relèvement peut être caractérisée en termes de la cohomologie du groupe, comme il est expliqué plus bas. En revanche, il est toujours possible de relever une représentation projective de G en une représentation linéaire d'une extension centrale de G. En effet, notons que
est une extension centrale de PGL(V) par le groupe des unités k* du corps de base. En posant , on obtient un sous-groupe de et la suite exacte courte :
définit une extension centrale de . La restriction à de la seconde projection de est alors une représentation linéaire qui relève .
Considérons le diagramme :
Étant donnés et tels que , et , on obtient :
Il existe donc tel que . Il s'ensuit que doit satisfaire la condition :
ce qui en fait un 2-cocycle ou multiplicateur de Schur. Deux tels cocycles sont en fait cohomologues et définissent donc la même classe dans H2(G, k*). La non-trivialité de cette classe est l'obstruction au relèvement de la représentation projective :
en une représentation linéaire.
Cette classe n'est pas nécessairement triviale.
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La théorie des représentations des groupes étudie les actions linéaires d'un groupe G sur un espace vectoriel V. On peut alors utiliser l'algèbre linéaire pour résoudre certaines questions de théorie
Presentation of Wightman's axiomatic framework to QFT as well as to the necessary mathematical objects to their understanding (Hilbert analysis, distributions, group representations,...).Proofs of
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (Since this group is noncompact, these unitary representations are infinite-dimensional.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states.
En mathématiques, plus précisément en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire . Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le groupe général linéaire de . On note le centre de ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur : un morphisme ; une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : .
In mathematics, especially in the group theoretic area of algebra, the projective linear group (also known as the projective general linear group or PGL) is the induced action of the general linear group of a vector space V on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective linear group is the quotient group PGL(V) = GL(V)/Z(V) where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V; these are quotiented out because they act trivially on the projective space and they form the kernel of the action, and the notation "Z" reflects that the scalar transformations form the center of the general linear group.