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Concept
Représentation projective
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire .
Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le groupe général linéaire de . On note le centre de ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur :
un morphisme ;
une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : .
Une représentation linéaire d'un groupe donne automatiquement une représentation projective en la composant avec le morphisme de projection :
La question qui se présente alors naturellement consiste à déterminer sous quelles conditions il est possible de relever une représentation projective en une représentation linéaire.
En général, il n'existe pas de relèvement d'une représentation projective ρ: G → PGL(V) en une représentation linéaire G → GL(V) et l'obstruction à ce relèvement peut être caractérisée en termes de la cohomologie du groupe, comme il est expliqué plus bas. En revanche, il est toujours possible de relever une représentation projective de G en une représentation linéaire d'une extension centrale de G. En effet, notons que
est une extension centrale de PGL(V) par le groupe des unités k* du corps de base. En posant , on obtient un sous-groupe de et la suite exacte courte :
définit une extension centrale de . La restriction à de la seconde projection de est alors une représentation linéaire qui relève .
Considérons le diagramme :
Étant donnés et tels que , et , on obtient :
Il existe donc tel que . Il s'ensuit que doit satisfaire la condition :
ce qui en fait un 2-cocycle ou multiplicateur de Schur. Deux tels cocycles sont en fait cohomologues et définissent donc la même classe dans H2(G, k*). La non-trivialité de cette classe est l'obstruction au relèvement de la représentation projective :
en une représentation linéaire.
Cette classe n'est pas nécessairement triviale.
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