Représentation projective

En mathématiques, plus précisément en théorie des représentations, une représentation projective d'un groupe sur un espace vectoriel est un homomorphisme du groupe dans le groupe projectif linéaire . Soit un groupe, un corps et un -espace vectoriel. désigne le groupe général linéaire de . On note le centre de ; il est isomorphe à . est par définition le groupe quotient : . Il existe deux définitions équivalentes d'une représentation projective de sur : un morphisme ; une application telle qu'il existe une fonction , vérifiant : . Une représentation linéaire d'un groupe donne automatiquement une représentation projective en la composant avec le morphisme de projection : La question qui se présente alors naturellement consiste à déterminer sous quelles conditions il est possible de relever une représentation projective en une représentation linéaire. En général, il n'existe pas de relèvement d'une représentation projective ρ: G → PGL(V) en une représentation linéaire G → GL(V) et l'obstruction à ce relèvement peut être caractérisée en termes de la cohomologie du groupe, comme il est expliqué plus bas. En revanche, il est toujours possible de relever une représentation projective de G en une représentation linéaire d'une extension centrale de G. En effet, notons que est une extension centrale de PGL(V) par le groupe des unités k* du corps de base. En posant , on obtient un sous-groupe de et la suite exacte courte : définit une extension centrale de . La restriction à de la seconde projection de est alors une représentation linéaire qui relève . Considérons le diagramme : Étant donnés et tels que , et , on obtient : Il existe donc tel que . Il s'ensuit que doit satisfaire la condition : ce qui en fait un 2-cocycle ou multiplicateur de Schur. Deux tels cocycles sont en fait cohomologues et définissent donc la même classe dans H2(G, k*). La non-trivialité de cette classe est l'obstruction au relèvement de la représentation projective : en une représentation linéaire. Cette classe n'est pas nécessairement triviale.