Théorie des représentations

La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel. Parmi les objets algébriques qui se prêtent à une telle approche figurent les groupes, les algèbres associatives et les algèbres de Lie. La théorie primordiale des représentations est celle des représentations de groupes, où les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle façon que la loi du groupe corresponde au produit matriciel. La théorie des représentations est un outil puissant, parce qu'elle réduit des problèmes d'algèbre abstraite à des problèmes d'algèbre linéaire, un domaine qui est bien compris. En outre, lorsqu'on autorise l'espace vectoriel, sur lequel un groupe (par exemple) est représenté, à être un espace de dimension infinie, par exemple un espace de Hilbert, on peut appliquer à la théorie des groupes des méthodes d'analyse. La théorie des représentations est aussi importante en physique, parce qu'elle permet de décrire, par exemple, l'influence du groupe des symétries d'un système sur les solutions des équations qui le décrivent. La théorie des représentations est omniprésente en mathématiques. De ce fait, ses applications sont variées : en plus de son impact en algèbre, elle éclaire et généralise largement l'analyse de Fourier via l'analyse harmonique, elle est profondément liée à la géométrie via la théorie des invariants et le programme d'Erlangen et elle a un impact profond en théorie des nombres via les formes automorphes et le programme de Langlands. Par ailleurs, elle peut être abordée de diverses manières : les mêmes objets peuvent être étudiés en utilisant des méthodes de géométrie algébrique, de théorie des modules, de théorie analytique des nombres, de géométrie différentielle, de et de topologie.

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vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.

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