Concept
Nil ideal
Concepts associés (8)
Köthe conjecture
In mathematics, the Köthe conjecture is a problem in ring theory, open . It is formulated in various ways. Suppose that R is a ring. One way to state the conjecture is that if R has no nil ideal, other than {0}, then it has no nil one-sided ideal, other than {0}. This question was posed in 1930 by Gottfried Köthe (1905–1989). The Köthe conjecture has been shown to be true for various classes of rings, such as polynomial identity rings and right Noetherian rings, but a general solution remains elusive.
Radical of a ring
In ring theory, a branch of mathematics, a radical of a ring is an ideal of "not-good" elements of the ring. The first example of a radical was the nilradical introduced by , based on a suggestion of . In the next few years several other radicals were discovered, of which the most important example is the Jacobson radical. The general theory of radicals was defined independently by and . In the theory of radicals, rings are usually assumed to be associative, but need not be commutative and need not have a multiplicative identity.
Nilpotent ideal
In mathematics, more specifically ring theory, an ideal I of a ring R is said to be a nilpotent ideal if there exists a natural number k such that I k = 0. By I k, it is meant the additive subgroup generated by the set of all products of k elements in I. Therefore, I is nilpotent if and only if there is a natural number k such that the product of any k elements of I is 0. The notion of a nilpotent ideal is much stronger than that of a nil ideal in many classes of rings.
Idempotent (ring theory)
In ring theory, a branch of mathematics, an idempotent element or simply idempotent of a ring is an element a such that a2 = a. That is, the element is idempotent under the ring's multiplication. Inductively then, one can also conclude that a = a2 = a3 = a4 = ... = an for any positive integer n. For example, an idempotent element of a matrix ring is precisely an idempotent matrix. For general rings, elements idempotent under multiplication are involved in decompositions of modules, and connected to homological properties of the ring.
Nilradical
En algèbre, le nilradical d'un anneau commutatif est un idéal particulier de cet anneau. Soit A un anneau commutatif. Le nilradical de A est l'ensemble des éléments nilpotents de A. En d'autres termes, c'est l'idéal radical de l'idéal réduit à 0. En notant Nil(A) le nilradical de A, on a les énoncés suivants : Nil(A) est un idéal ; l'anneau quotient A/Nil(A) est réduit, c'est-à-dire qu'il n'a pas d'éléments nilpotents hormis 0 ; Nil(A) est inclus dans chaque idéal premier de A ; si s est un élément de A qui n'appartient pas à Nil(A), alors il existe un idéal premier auquel s n'appartient pas ; si A n'est pas l'anneau nul, Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A et même, de tous ses .
Nilpotent
En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que x = 0. Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice est nilpotente parce que A = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent. Dans l'anneau Z/9Z, la classe de 3 est nilpotente parce que 3 est congru à 0 modulo 9. L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
Radical de Jacobson
En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
Théorie des anneaux
En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.