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Concept
Espace de Lindelöf
Résumé
En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient.
Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.
Un espace est quasi-compact si et seulement s'il est de Lindelöf et dénombrablement compact.
Tout espace pseudométrisable de Lindelöf est séparable ( Propriétés des espaces séparables) donc à base dénombrable ( Lien entre ces deux notions).
Pour qu'un espace X soit de Lindelöf, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement dénombrable (la démonstration est la même que l'analogue pour les quasicompacts, en remplaçant « fini » par « dénombrable »). Cela rend immédiat le résultat suivant :
Lemme de Lindelöf — Tout espace à base dénombrable est de Lindelöf.
La réciproque est fausse en général. Par exemple, la droite de Sorgenfrey S est de Lindelöf (et de plus, séparable et à bases dénombrables de voisinages) mais n'est pas à base dénombrable.
Cependant, d'après ce qui précède, pour un espace pseudométrisable, les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes.
Tout fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf (la démonstration est analogue à celle de la compacité de tout fermé d'un compact).
Toute image continue d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf.
Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf (en particulier tout espace dénombrable) est de Lindelöf.
En général, on n'a aucune implication (dans un sens ou dans l'autre) entre la propriété de Lindelöf et les autres propriétés de compacité.
Source officielle
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