Droite de Sorgenfrey

En mathématiques, la droite de Sorgenfrey — souvent notée S — est la droite réelle R munie de la topologie (plus fine que la topologie usuelle) dont une base est constituée des intervalles semi-ouverts de la forme [a, b[ (pour a et b réels tels que a < b). Robert Sorgenfrey l'a définie pour démontrer que le produit de deux espaces paracompacts n'est pas toujours paracompact ; c'est aussi un exemple simple d'espace normal dont le carré n'est pas normal. Cette topologie sur R est strictement plus fine (c'est-à-dire qu'elle a strictement plus d'ouverts) que la topologie usuelle, car une base de cette dernière est constituée des invervalles ouverts, or chacun d'eux est une réunion (dénombrable) d'intervalles semi-ouverts. Elle n'est tout de même pas discrète. Chaque intervalle semi-ouvert [a, b[ (pour a < b ≤ +∞) est ouvert dans S mais aussi fermé. Ceci prouve que S est de dimension topologique nulle, donc totalement discontinu. Toute partie compacte C de S est au plus dénombrable. En effet, pour tout x ∈ C, les ouverts ]–∞, x – 1/n[ (n ∈ N*) et l'ouvert [x, +∞[ forment un recouvrement de C, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un rationnel q(x) < x tel que x soit le seul point de C dans l'intervalle [q(x), x]. Les intervalles [q(x), x], quand x parcourt C, sont alors disjoints deux à deux donc q est une injection de C dans Q. Cette topologie sur R est aussi appelée en anglais lower limit topology, pour rappeler la propriété suivante : une suite (ou même une suite généralisée) (x) dans S converge vers L si et seulement si elle « approche L par la droite », c'est-à-dire si pour tout ε > 0, il existe un indice α tel que pour tout α > α, L ≤ x < L + ε. Ainsi, pour une fonction réelle f : R → R, une limite à droite de f en un point x pour la topologie usuelle sur R est la même chose qu'une limite ordinaire de f en x quand l'ensemble de départ est muni de la topologie de Sorgenfrey (l'ensemble d'arrivée restant muni de sa topologie usuelle). L'espace S est séparé et même parfaitement normal (donc régulier).

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