Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Droite de Sorgenfrey
Résumé
En mathématiques, la droite de Sorgenfrey — souvent notée S — est la droite réelle R munie de la topologie (plus fine que la topologie usuelle) dont une base est constituée des intervalles semi-ouverts de la forme [a, b[ (pour a et b réels tels que a < b). Robert Sorgenfrey l'a définie pour démontrer que le produit de deux espaces paracompacts n'est pas toujours paracompact ; c'est aussi un exemple simple d'espace normal dont le carré n'est pas normal.
Cette topologie sur R est strictement plus fine (c'est-à-dire qu'elle a strictement plus d'ouverts) que la topologie usuelle, car une base de cette dernière est constituée des invervalles ouverts, or chacun d'eux est une réunion (dénombrable) d'intervalles semi-ouverts. Elle n'est tout de même pas discrète.
Chaque intervalle semi-ouvert [a, b[ (pour a < b ≤ +∞) est ouvert dans S mais aussi fermé. Ceci prouve que S est de dimension topologique nulle, donc totalement discontinu.
Toute partie compacte C de S est au plus dénombrable. En effet, pour tout x ∈ C, les ouverts ]–∞, x – 1/n[ (n ∈ N*) et l'ouvert [x, +∞[ forment un recouvrement de C, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un rationnel q(x) < x tel que x soit le seul point de C dans l'intervalle [q(x), x]. Les intervalles [q(x), x], quand x parcourt C, sont alors disjoints deux à deux donc q est une injection de C dans Q.
Cette topologie sur R est aussi appelée en anglais lower limit topology, pour rappeler la propriété suivante : une suite (ou même une suite généralisée) (x) dans S converge vers L si et seulement si elle « approche L par la droite », c'est-à-dire si pour tout ε > 0, il existe un indice α tel que pour tout α > α, L ≤ x < L + ε. Ainsi, pour une fonction réelle f : R → R, une limite à droite de f en un point x pour la topologie usuelle sur R est la même chose qu'une limite ordinaire de f en x quand l'ensemble de départ est muni de la topologie de Sorgenfrey (l'ensemble d'arrivée restant muni de sa topologie usuelle).
L'espace S est séparé et même parfaitement normal (donc régulier).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.