Processus ponctuel déterminantal

Un processus ponctuel déterminantal est un processus ponctuel dont les fonctions de corrélation s'écrivent sous forme d'un déterminant d'une fonction appelé noyau. Ces processus apparaissent en matrices aléatoires, combinatoires, physique mathématique et apprentissage automatique. Ces processus ont été introduits par Odile Macchi pour modéliser les fermions. Soit un espace polonais et une mesure de Radon. Un processus ponctuel simple est dit déterminantal s'il existe une fonction mesurable tels que, pour tout entier non nul , pour toute fonction mesurable f: \mathbb{X}^k \to \mathbb{C} continue à support compact On définit la fonction de corrélation par: Les deux conditions suivantes sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un processus ponctuel déterminantal : Symetrie de :Il faut que soit stable sous le groupe symetrique : Positivité : Pour tout entier N et toute famille de fonctions mesurables, bornées et à support compact , on a, si alors, Une condition suffisante pour l'unicité d'un processus ponctuel déterminantal de fonction de corrélation est la suivante: pour toute partie borélienne bornée dans . Dans plusieurs modèles de matrices aléatoires (GUE, CUE, LUE, Ginibre), les valeurs propres forment un processus ponctuel déterminantal à valeurs complexes (ou réelles). Par exemple, les valeurs propres du GUE (ensemble unitaire gaussien) forment, pour la mesure de Lebesgue sur , un processus ponctuel déterminantal de noyau où la famille des sont les polynômes d'Hermite normalisées. En particulier, est un polynôme de degré et . Soient les valeurs propres de CUE (circular unitary ensemble), alors , pour tout , . Le processus ponctuel associé à est déterminantal, pour la mesure de référence sur de noyau Les coordonnée de Frobenius modifiées d'un diagramme de Young aléatoire ayant comme loi la loi de Plancherel poissonisé forme un processus ponctuel déterminantal sur pour la mesure de comptage avec un noyau de Bessel discret. Soit une permutation et soit .