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Concept
Octogone
Résumé
Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.
La somme des angles internes d'un octogone non croisé est égale à , soit °.
Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont la même valeur.
Il existe un octogone régulier étoilé (l'octagramme régulier, noté {8/3}) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l'octogone régulier convexe, noté {8}.
Pour un octogone régulier de côté a :
l'angle interne vaut , soit 135° ;
le rayon du cercle circonscrit est
le rayon du cercle inscrit et donc la longueur de l'apothème est(cot est ici la fonction cotangente) ;
le périmètre est égal à 8a ;
l'aire est égale àElle vaut également
D'après le théorème de Gauss-Wantzel et puisque 8 est une puissance de 2, l'octogone régulier est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :
1 : tracer une droite.
2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon que celui-ci.
4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
8 à 10 : reporter les côtés.
11 à 18 : tracer l'octogone.
Ou plus simplement :
Tracer un carré, tracer les diagonales.
Reporter la demi-diagonale sur les côtés du carré à partir de chaque angle.
Tracer l'octogone en coupant les coins du carré.
vignette|Les fonts baptismaux de la cathédrale de Magdebourg sont faits de porphyre rouge antique d'Égypte, exploité par les Romains dans l'Antiquité mais inconnu et inexploité durant le Moyen Âge, il s'agit donc de réemploi d'un bassin de fontaine en porphyre d'époque romaine, le trou central ayant été bouché.
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