Conditions de chaîne

Les conditions de chaîne (ascendante et descendante) sont deux propriétés mathématiques sur les ordres, identifiées initialement par Emmy Noether dans le contexte de l'algèbre commutative. Sur un ensemble partiellement ordonné (V, ≤), la condition de chaîne ascendante désigne la propriété suivante : toute suite croissante (xn)n ∈ N d'éléments de V est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang (il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N, xn = xN) ou également la propriété (équivalente car il s'agit d'une relation d'ordre) V ne contient pas de suite infinie strictement croissante. La condition de chaîne ascendante pour (V, ≤) équivaut à la propriété suivante : toute partie non vide de V possède un élément maximal. En effet, d'une part cette condition, parfois appelée condition de maximalité (maximal condition ou maximum condition), serait contredite par l'existence d'une suite infinie croissante. D'autre part, si elle n'est pas vérifiée, on construit une suite infinie strictement croissante en choisissant successivement dans une partie non vide sans élément maximal un élément x0, puis un majorant strict x1 de celui-ci, etc. La suite (xn) ainsi construite (par récurrence et axiome du choix — plus précisément : axiome du choix dépendant, car il y a une infinité dénombrable de choix et chacun dépend des choix précédents) est infinie croissante. (V, ≤) vérifie la condition de chaîne descendante si toute suite décroissante est stationnaire, c'est-à-dire que l'ordre opposé (V, ≥) vérifie la condition de chaîne ascendante. La condition de minimalité équivalente — toute partie non vide possède un élément minimal — n'est autre que la définition usuelle d'ordre bien fondé. Sur un ensemble fini, tout ordre partiel vérifie les deux conditions de chaîne (ascendante et descendante). L'ensemble N des entiers naturels, muni de l'ordre usuel, vérifie la condition de chaîne descendante, mais pas l'ascendante. L'ensemble Z des entiers relatifs, muni de l'ordre usuel, ne vérifie aucune des deux conditions de chaîne.