Module sur un anneau

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux. La notion de module sur un anneau fournit un cadre général et abstrait permettant de traiter les aspects purement algébriques des problèmes linéaires qu'on rencontre dans toutes les branches des mathématiques : théorie des nombres, algèbre linéaire classique, calcul tensoriel, formes différentielles, équations aux dérivées partielles, équations intégrales, géométrie algébrique, fonctions analytiques, topologie algébrique, etc.. Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, et on ne peut pas nécessairement y développer de théorie de la dimension, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments. Les modules ne sont pas une généralisation inutile. Ils apparaissent naturellement dans beaucoup de situations algébriques ou géométriques. Un exemple simple est un module sur l'anneau des polynômes à une ou plusieurs indéterminées, anneau dans lequel la plupart des éléments n'ont pas d'inverse. On peut même considérer des anneaux non intègres, comme celui des fonctions infiniment différentiables sur un ouvert. Soit A un anneau (unitaire), dont la multiplication sera notée par simple juxtaposition. Un A-module est la donnée (M, +, •) d'un ensemble M, d'une loi de composition interne + dans M qui fait de M un groupe abélien et d'une loi externe • de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M : (distributivité de • par rapport à l'addition dans M) (distributivité de • par rapport à l'addition dans A) Remarque : la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M.

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