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Concept
Radical de Bring
Résumé
En mathématiques et en algèbre, un radical de Bring ou ultraradical est un zéro réel du polynôme
dans lequel a est un nombre complexe.
George Jerrard (1804-1863) a montré que certaines équations quintiques peuvent être résolues par radicaux et par radicaux de Bring, qui ont été introduits par Erland Samuel Bring (1736-1798).
Pour le polynôme unitaire de degré 5
on pose l'équation quartique
ce qui permet d'obtenir un polynôme de degré 5 en y par une transformation de Tschirnhaus, par exemple en utilisant le résultant pour éliminer x. On peut alors chercher les valeurs particulières des coefficients bi qui forment les coefficients du polynôme en y de la forme
Cette réduction, découverte par Bring et redécouverte par Jerrard, est appelée une forme normale de Bring-Jerrard. Une attaque directe pour une réduction en forme normale de Bring-Jerrard ne fonctionnera pas ; l'astuce est de le faire par paliers, en utilisant plusieurs transformations de Tschirnhaus, ce qui est réalisé relativement facilement avec un système informatique algébrique.
D'abord, en substituant à la place de x, on enlève le terme de trace (degré 4). On peut alors employer une idée due à Tschirnhaus pour éliminer aussi le terme en x, en fixant et en résolvant en p et q pour éliminer les termes en et en x, on trouve que et
éliminent les deux termes du troisième et quatrième degré de
On peut maintenant écrire
dans
et éliminer aussi le terme de degré 2, d'une manière qui ne nécessite pas de solution d'équation supérieure au degré 3. Ceci demande de prendre les racines carrées pour les valeurs de b1, b2 et b4, et de trouver la racine d'une équation cubique pour b3.
La forme générale est assez facile à calculer en utilisant un programme de calcul formel tel que Maple ou Mathematica, mais elle est assez désordonnée, il semble envisageable d'exploiter simplement la méthode, qui peut être appliquée dans n'importe quel cas particulier. On peut établir un système de trois équations, puis les résoudre pour les coefficients bi.
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