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Concept
Intégrale elliptique
Résumé
Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...).
Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme
où est une fonction rationnelle à deux variables, est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et est une constante.
Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques :
appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique) ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.
Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.
Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :
l'angle modulaire α
le module elliptique ou excentricité k=sin(α)
le paramètre m=k=sin(α)
L'utilisation d'une écriture ou d'une autre n'altère pas la nature de l'intégrale.
Des variantes dans les notations existent. On prendra garde en particulier à la présence ou non d'un point-virgule entre la variable et le module.
Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :
Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables t=sin(θ), x=sin(φ), on obtient la forme de Jacobi :
En utilisant l'angle modulaire :
Cette intégrale permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi.
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