Concept

Intégrale elliptique

Résumé
Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...). Forme générale Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :f(x) = \int_{c}^{x} R\left(t,\sqrt{P(t)}\right);\mathrm{d}t où R est une fonction rationnelle à deux variables, P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et c est une constante. Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques : :\begin{align} (1)&\quad\int \frac{1}{\sqrt{(At^2+B)(A't^2+B')}}~\mathrm{d}t\ (2)&\quad\int \frac{t^2}{\sqrt{(At^2+B)(A't^2+B')}}~\
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