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Concept
Indice (mathématiques)
Résumé
Le mot indice a en mathématiques des significations multiples. Certaines n'ont rien à voir entre elles, d'autres touchent des sujets si voisins qu'il y a parfois des confusions. Il y a néanmoins un point commun : l'indice en mathématiques est très souvent (mais pas toujours) un nombre entier.
Un indice est un symbole placé souvent à droite et au-dessous d’un autre symbole, qu’il caractérise ou numérote. Par exemple, 1 est l’indice de dans l’écriture , qui se lit x indice 1.
Une suite est ainsi indexée par les entiers naturels : on écrit et les symboles sont les indices.
Il est utilisé notamment par des opérateurs de sommation ou de produit.
On peut plus généralement indexer par un ensemble I quelconque : si X est un ensemble,
les éléments de l'ensemble des applications de I dans X s'écrivent
Un tel élément s'appelle une famille d'éléments de X
indexée par I.
Les coordonnées d'un vecteur sont indexées par un nombre entier (variant de 1 à la dimension).
Les éléments d'une matrice sont indexés par deux entiers. Plus généralement, les coordonnées
d'un tenseur de type (p,q) (p fois contravariant et q fois covariant) s'écrivent
On parle alors de multi-indice. La position des différents indices qui interviennent
est motivée par la convention d'Einstein.
Si H est un sous-groupe d'un groupe fini G, le nombre d'élément de H (son cardinal #H) divise celui de G (théorème de Lagrange). L'indice de H dans G est le quotient #G/#H.
Plus généralement, si l'ensemble quotient G/H est fini, l'indice de H dans G
est le cardinal de G/H. Cette notion est surtout utilisée quand H est un sous-groupe normal.
L'indice d'isotropie d'une forme quadratique est la dimension maximale
d'un sous-espace totalement isotrope.
L'indice d'inertie d'une forme quadratique réelle
est le nombre de carrés négatifs (toujours le même) obtenu dans une décomposition en carrés
L'indice d'un point critique (supposé non dégénéré) d'une fonction
de n variables (on dit aussi indice de Morse) est l'indice d'inertie de sa matrice hessienne au point en question.
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