Vecteur contravariant, covariant et covecteur

Un vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire). Toutes ces notions sont indépendantes de représentation dans une base : mais à partir du moment où on choisit une base , la représentation des composantes des vecteurs, et des composantes des formes linéaires, est standard : elle se fait avec un indice en haut pour les composantes des vecteurs, comme , et un indice bas pour les composantes des formes linéaires, comme où est la base duale. Ce vocabulaire a été longtemps (et est encore souvent) associé au comportement des composantes lors d'un changement de base, en particulier les composantes d'un vecteur se transformant de manière inverse aux transformations des vecteurs de base : quand la transformation pour les vecteurs de base se lit matriciellement , alors la transformation pour les composantes se lit matriciellement , d'où le nom "contravariant" donné aux vecteurs (transformation "dans le sens inverse de "). Et les composantes des formes linéaires se transforment comme (transformation "dans le sens "). L'importance de la distinction entre vecteur covariant et contravariant se voit également dans l'étude de changement de base des tenseurs. Par exemple un tenseur 1 fois covariant et 1 fois contravariant (comme en endomorphisme) se transforme comme , alors qu'un tenseur deux fois covariant (comme un produit scalaire) se transforme comme . Dans le cadre usuel d'un changement de systèmes de coordonnées (non orthonormé), comme un changement du système cartésien au système polaire, on ne peut confondre ces formules. On confond souvent tenseur et calcul tensoriel ou matriciel (le calcul avec les formes multilinéaires), calculs indispensables entre autres en physique.