En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :
Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.
Soit E un ensemble ;
on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes :
Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).
Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:
L'inégalité
est vraie, que x soit égal à z ou non.
Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.
Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique de tout nombre rationnel r non nul.
On prouve facilement que cette application vérifie
et
On définit alors la distance p-adique sur Q par :
La propriété précédente de conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.
Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur Q.
Soient X un ensemble quelconque et E = X l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posantPour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = N, l'espace de Baire.
Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.
Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :
Tout point d'une boule en est un centre :
Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :
Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.
Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module, c'est-à-dire ) d'un nombre réel est sa valeur numérique considérée sans tenir compte de son signe. On peut la comprendre comme sa distance à zéro ; ou comme sa valeur quantitative, à laquelle le signe ajoute une idée de polarité ou de sens (comme le sens d'un vecteur). Par exemple, la valeur absolue de –4 est 4, et celle de +4 est 4. La valeur absolue se note par des barres verticales : ainsi, on écrit : |–4| = |+4| = 4.
Explore l'intégrabilité uniforme, les théorèmes de convergence et l'importance des séquences bornées dans la compréhension de la convergence des variables aléatoires.
We establish p-adic versions of the Manin-Mumford conjecture, which states that an irreducible subvariety of an abelian variety with dense torsion has to be the translate of a subgroup by a torsion point. We do so in the context of certain rigid analytic s ...
OXFORD UNIV PRESS2021
, , , , , , ,
The novel plasma position and shape controller of the TCV tokamak aids in the precise control of complex configurations such as snowflake (SF) divertors. The ability of the controller design to simultaneously control the position, shape, divertor leg and X ...
2019
We investigate generalizations along the lines of the Mordell-Lang conjecture of the author's p-adic formal Manin-Mumford results for n-dimensional p-divisible formal groups F. In particular, given a finitely generated subgroup (sic) of F(Q(p)) and a close ...