Distance ultramétrique

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble E vérifiant l'inégalité ultratriangulaire : Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique. Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application vérifiant les propriétés suivantes : Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire). Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par: L'inégalité est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique. Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique de tout nombre rationnel r non nul. On prouve facilement que cette application vérifie et On définit alors la distance p-adique sur Q par : La propriété précédente de conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées. Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur Q. Soient X un ensemble quelconque et E = X l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posantPour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = N, l'espace de Baire. Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition. Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre : Tout point d'une boule en est un centre : Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus : Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée. Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

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