Théorème d'Ostrowski

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps Q des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques. Plus précisément et plus généralement, le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = Q les valuations réelles sont les valuations p-adiques. Valeur absolue Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant : L'application (x, y) ↦ y – x est alors une distance sur K. Si la valeur absolue vérifie la condition plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique. La valeur absolue triviale | ∙ | sur un corps est définie par La valeur absolue usuelle | ∙ | sur Q est définie par Nombre p-adiqueNombre p-adique Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul x s'écrit de manière unique sous la forme où , sont des entiers relatifs, est un entier strictement positif tels que et sont premiers entre eux, et ne divise ni ni . L'entier n est la valuation p-adique de x. La valeur absolue p-adique | ∙ | sur Q est alors définie par Elle est ultramétrique. Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif. Espace complet#Complété d'un espace métriqueComplété d'un espace métrique Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps Q. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à R.