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Concept
Nombre rationnel
Résumé
Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul.
Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme .
Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple ... Mais il existe une forme privilégiée d'écriture : tout nombre rationnel non nul s'exprime de manière unique comme fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux avec un dénominateur positif. On appelle cette expression une fraction irréductible.
Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou Q (baptisé ainsi par Peano en 1895 d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition :
où Z est l'anneau des entiers relatifs.
Développement décimal périodique
Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ».
Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’.
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