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Concept
Famille exponentielle
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, une famille exponentielle est une classe de lois de probabilité dont la forme générale est donnée par :
où est la variable aléatoire, est un paramètre et est son paramètre naturel.
Les familles exponentielles présentent certaines propriétés algébriques et inférentielles remarquables.
La caractérisation d'une loi en famille exponentielle permet de reformuler la loi à l'aide de ce que l'on appelle des paramètres naturels.
En statistique inférentielle, ces familles permettent d'obtenir des statistiques d'échantillonnage, à savoir les statistiques suffisantes naturelles de la famille, qui résument un échantillon de données à l'aide d'un nombre réduit de valeurs, constituant les variables de décision en statistiques inférentielles.
En statistique bayésienne, elles possèdent des prieures conjuguées qui facilitent la mise à jour des lois dites « subjectives ».
De plus, la loi prédictive a posteriori d'une variable aléatoire de famille exponentielle (à prieure conjuguée) peut toujours s'écrire en forme close (pour autant que le facteur de normalisation de la famille exponentielle puisse lui-même s'écrire en forme close). . Exemples courants : la loi t de Student, la loi bêta-binomiale ou la loi de Dirichlet multinomiale.
Les familles exponentielles apparaissent de façon naturelle dans la recherche de lois lors d'applications statistiques, en particulier dans les méthodes bayésiennes.
La famille exponentielle comprend une grande quantité de lois parmi les plus courantes : loi normale, loi exponentielle, loi Gamma, loi du χ2, loi bêta, loi de Dirichlet, loi de Bernoulli, loi multinomiale, loi de Poisson, loi de Wishart, loi de Wishart inverse, etc. D'autres lois courantes ne forment une famille exponentielle que si certains paramètres sont fixes et de valeur connue, telles les lois binomiale et multinomiale (pour un nombre de tirages fixe dans les deux cas), et la loi binomiale négative (pour un nombre d'échecs fixe).
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