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Concept
Partition d'un ensemble
Résumé
vignette|Les 52 partitions d'un ensemble à 5 éléments. Les points noirs représentent les éléments de l'ensemble. Une région colorée correspond à un bloc de la partition qui regroupe plusieurs points noirs. Un point noir isolé signifie que cet élément appartient à un bloc qui est un singleton.
En mathématiques, une partition d'un ensemble X est un ensemble de parties non vides de X deux à deux disjointes et dont l'union est X.
Soit un ensemble X. Un ensemble de parties de X est une partition de X si :
aucune de ces parties n'est vide () ;
leur union est égale à X ;
elles sont deux à deux disjointes () .
Les éléments d'une partition sont parfois appelés des classes ou des blocs.
Dans le cas fini, on définit aussi des partitions ordonnées comme des m-uplets tels que l'ensemble est une partition de X.
L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :
{ {1}, {2}, {3} } ;
{ {1, 2}, {3} } ;
{ {1, 3}, {2} } ;
{ {1}, {2, 3} } ;
et { {1, 2, 3} }.
Remarquons que :
{ ∅, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide ∅ ;
{ {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie ;
{ {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2} ; c'est une partition de {1, 2}.
Dans le cas où tous les éléments de la partition ont même cardinal, on retrouve le cas du lemme des bergers.
La partition vide est une partition de l'ensemble vide (c'est d'ailleurs la seule) puisque tous ses éléments (il n'y en a aucun) ont toutes les propriétés souhaitables (ici : être non vides et disjoints) et que leur union est vide (par définition).
Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble X, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de X. Inversement, si une partition de X est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur X notée ~, par x ~ y si et seulement s’il existe, parmi les éléments de , une partie de X qui contient à la fois x et y. Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.
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