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Concept
Produit matriciel de Hadamard
Résumé
vignette|Illustration du produit de Hadamard: il s'applique à deux matrices de mêmes dimensions et la matrice en resultant a les mêmes dimensions également.
En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur, est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.
Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.
Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions
le produit de Hadamard est une matrice
dont les coefficients sont
Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille m × n est une matrice m × n dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls.
où M (respectivement M*) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de M. En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices n × n symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).
Si D est diagonale alors
En notant e le j-ème vecteur de la base canonique de C et, pour tout vecteur x, D la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de x, on remarque que l'élément d'indice i, j du produit de Hadamard est égal au i-ème élément diagonal de ADB :On en déduit immédiatement :
la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de ABT :
la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de ABT.
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