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Concept
Jeu à somme nulle
Résumé
Un jeu de somme nulle est un jeu où la somme des gains et des pertes de tous les joueurs est égale à 0. Cela signifie donc que le gain de l'un constitue obligatoirement une perte pour l'autre.
Par exemple si l'on définit le gain d'une partie d'échecs comme 1 si on gagne, 0 si la partie est nulle et -1 si on perd, le jeu d'échecs est un jeu à somme nulle.
En économie, cette notion simplificatrice est importante : les jeux à somme nulle correspondent à l'absence de production ou de destruction de produits.
En 1944, John von Neumann et Oskar Morgenstern ont démontré que tout jeu à somme nulle pour n'est en fait qu'une forme généralisée de jeux à somme nulle pour deux personnes, et que tout jeu à somme non nulle pour peut se ramener à un jeu à somme nulle pour , la n+1-ième personne représentant le gain ou la perte globale. Pour une critique pertinente de ce point de vue lire : Jeux de stratégie à somme nulle et non nulle.
De ce fait, les jeux à somme nulle pour deux personnes ou deux entités constituent la partie essentielle de la théorie mathématique des jeux à somme nulle. Selon le théorème du minimax de von Neumann, il est prouvé déjà en 1926 qu'il est admis des équilibres. En 1950, John Forbes Nash démontre que tout jeu à somme non nulle pour , possède au moins un équilibre de Nash en stratégies mixtes.
Le journaliste et auteur Robert Wright a utilisé ce concept en sociologie pour parler des bénéfices de l'interdépendance dans une société développée.
La modélisation de phénomènes réels par des jeux à somme nulle n'est que rarement raisonnable, tant elle nécessite de formuler des hypothèses simplificatrices éloignées de toute vraisemblance. Elle est toutefois utilisée à des fins pédagogiques, avec les avertissements qui s'imposent quant au peu de pertinence du modèle.
La modélisation des exemples ci-dessous à l'aide de matrices des gains est exposée aux articles Jeu sous forme normale et Théorème du minimax de von Neumann.
On considère deux firmes A et B, en concurrence sur le marché d'un produit dont le coût de production unitaire est de .
Source officielle
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