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Concept
Anneau de valuation discrète
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre commutative, un anneau de valuation discrète est un anneau de valuation dont la valuation est discrète mais non triviale. Un anneau est de valuation discrète lorsqu'il est principal, qu'il ne possède qu'un idéal maximal, et que cet idéal est non nul.
Cette notion est utilisée en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique ; elle constitue un outil d'étude des anneaux noethériens, en particulier les anneaux de Dedekind.
La première définition est presque une lapalissade :
Autrement dit, A est un anneau commutatif unitaire intègre, et il existe sur son corps des fractions K une valuation v, à valeurs entières mais non toutes nulles, telle que
Par conséquent (comme tout anneau d'une valuation non triviale) A est un anneau local mais pas un corps, et son unique idéal maximal M est non nul, et constitué des éléments de valuation strictement positive :
De plus (comme la valuation est à valeurs entières) tout idéal est engendré par n'importe lequel de ses éléments de valuation minimum, si bien que A est principal. En particulier, un générateur de M est appelé uniformisante ou paramètre local de l'anneau.
La réciproque est claire : tout anneau local et principal qui n'est pas un corps est un anneau de valuation discrète. On pose v(a) égal à l'entier naturel n tel que aA = M (cf. paragraphe « Propriétés »). On obtient donc une définition équivalente :
Un exemple simple est fourni par un sous-anneau du corps des rationnels : l'ensemble Z(p) des fractions a/b où a est un entier relatif et b un entier non divisible par un nombre premier p fixé. Les inversibles de cet anneau sont les a/b pour lesquels a n'est pas non plus multiple de p.
Une généralisation naturelle est de remplacer Z par un anneau de Dedekind A (par exemple l'anneau des entiers d'un corps quadratique ou plus généralement la fermeture intégrale de Z dans un corps de nombres). Soit P un idéal premier non nul de A, le localisé AP de A en P est un anneau de valuation discrète (c'est l'ensemble des fractions de la forme a/b où a est élément de A, et b un élément de A qui n'est pas dans P).
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