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Concept
Fonctionnelle de Minkowski
Résumé
En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie C d'un R-espace vectoriel E on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski p, qui est une application de E dans [0, +∞] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater C pour englober ce vecteur. Dès que C contient l'origine, p est positivement homogène ; si C est étoilée par rapport p possède d'autres propriétés élémentaires. Si C est convexe — cas le plus souvent étudié — p est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, p est une semi-norme dont est la boule unité.
Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski)
Dans tout cet article, E désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.
Exemple
Soient et tel que . Pour tout , et pour tout , inf(∅) = +∞.
Premières remarques
En particulier, si , et l'on a :
est décroissante : pour toutes parties et ,.
Les ensembles de sous-niveau de sont homothétiques :ou, ce qui est équivalent : pour tout vecteur , .
Par conséquent, est :
« fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si et seulement si est fermé,
semi-continue supérieurement si et seulement si est ouvert.
(donc si est symétrique par rapport à 0 alors ).
Si alors donc est positivement homogène, c'est-à-dire que l'équation fonctionnelle précédente est vérifiée non seulement pour mais aussi pour :.La section suivante montre que réciproquement, toute fonction positivement homogène de dans est une jauge (c'est-à-dire : est la jauge d'une partie de ).
Avant d'affiner l'étude dans le cas particulier plus utile d'un convexe contenant 0, considérons une partie étoilée (par rapport à 0, ce qui sera désormais implicite), c'est-à-dire une partie contenant 0 et telle que
On sait déjà que et que est positivement homogène.
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