Dimension de Hausdorff

Résumé

En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c'est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L'exemple le plus simple est l'espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension n muni d'une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l'espace vectoriel. Cependant la dimension de Hausdorff d'un espace métrique quelconque peut ne pas être un entier naturel. Introduction informelle Dans un espace euclidien de dimension d, une boule de rayon r a un volume proportionnel à r^d. Intuitivement, on s'attend donc à ce que le nombre N(r) de boules de rayon

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_de_Hausdorff

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (13)

Publications associées

Chargement

Personnes associées

Chargement

Unités associées

Chargement

Concepts associés (29)

vignette|Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot)|alt=Exemple de figure fractale (détail de l'ensemble de Mandelbrot). vignette|Ensemble de Julia en 0.3+0.5i. Une

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en

Le terme dimension, du latin dimensio « action de mesurer », désigne d’abord chacune des grandeurs d’un objet : longueur, largeur et profondeur, épaisseur ou hauteur, ou encore son diamètre si c'est

Afficher plus

Concepts associés

Chargement

Cours associés (11)

Cours associés

Chargement

Séances de cours associées (16)

Séances de cours associées

Chargement

Hausdorff dimension of some groups acting on the binary tree

Olivier Siegenthaler

De Gruyter, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG2008

Chargement

Propriétés fines des trajectoires du mouvement brownien fractionnaire

Driss Baraka

Let X = {X(t); t ∈ RN} be a (N,d) fractional Brownian motion in Rd of index H ∈ (0,1). We study the local time of X for all temporal dimensions N and spatial dimensions d for which local time exist. We obtain two main results : R1. If we denote by Lx(I) the local time of X at x on I ⊂ RN, then there exists a positive finite constant c such that mφ(X-1(0) ∩ [0,1]N) = c L0([0,1]N), where φ(r) = rN-dH (log log 1/r)dH/N and mφ(E) is the Hausdorff φ-measure of E. This solves the problem of the relationship between the local time and the exact Hausdorff measure of zero set for X. R2. We refine results of Xiao (1997) for the local times of (N,d) fractional Brownian motion. We prove the law of iterated logarithm and global Hölder condition for the local time for our process. These results establish interesting properties which were only partially proved in the literature. This literature began with the work of Taylor and Wendel (1966) and Perkins (1981) for the first result; Kesten (1965) and Perkins (1981) for the second on the Brownian motion. It continued with several works of which that of Xiao (1997) on the locally nondeterministic processes with stationnary increments including the (N,d) fractional Brownian motion. An intermediate result is found to solve the case N > 1. We generalize the result of Kasahara et al. (1999) on the tail probability of local time.

EPFL2008

Chargement

Inversion de Fourier ponctuelle

Emanuel Enrico Seifert

Let f be an integrable function on RN, a a point in RN and B a complex number. If the mean value of f on the sphere of centre a and radius r tends to B when r tends to 0, we show that the Fourier integral at a of f is summable to B in Cesàro means of order λ > (N-1)/2. Let now U be a bounded open subset of RN whose boundary ∂U is a real analytic submanifold of RN with dimension N-1. We deduce from the preceding result that the Fourier integral at a of the indicator function of U is summable in Cesàro means of order λ > (N-1)/2 to 1 if a ∈ U, to 1/2 if a ∈ ∂U and to 0 if a ∉ U. We then show that if the function defined on ∂U by y → ‖ y - a ‖ has only a finite number of critical points, then we can take λ less or equal to (N-1)/2 ; more precisely, it suffices to have λ > (N-3)/2 + σ(a|∂U), where σ (a|∂U) < 0 is the maximum of the oscillatory indices associated to the critical points of y → ‖ y - a ‖ ; this generalizes results obtained by Pinsky, Taylor and Popov in 1997. Finally, writing μ∂U for the natural measure supported by ∂U, P(D) for a differential operator with constant coefficients of order m and b for a C∞ function on RN, we show that, if a is a point outside ∂U such that ‖ y - a ‖ has only a finite number of critical points on ∂U, the Fourier integral at a of the distribution P(D) bμ∂U is summable to 0 in Cesàro means of order λ > (N-1)/2 + m + σ (a|∂U) ; this generalizes a result obtained by Gonzàlez Vieli in 2002.

EPFL2007

Chargement